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http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司考能训练 12 平面向量及其应用一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如果 ab=ac,且 a0,那么( )A.b=c B.b=c C.bc D.b,c 在 a 方向上的投影相等答案:D 解析:b 在 a 方向上的投影为 ,c 在 a 方向上的投影为 ,又 ab=ac,且 a0,故选|b|cD.2.已知 =(1,3), =(1,3),要使|t + |的值最小,则 t 的值为( OABOAB)A.-1 B.1 C. D. 22答案:B解析: |t + |=|(t-1,-3t+3)|= .OAB |10)3()1(22ttt当 t=1 时,|t + |取最小值.3.(2006 辽宁沈阳教学质量检测, 5)设 i,j 是平面直角坐标系内分别与 x 轴,y 轴正方向相同的两个单位向量,O 为坐标原点,若 =4i+2j, =3i+4i,则 2 + 的OABOAB坐标是( )A.(1,2) B.(7,6)C.(5,0) D.(11,8)答案:D解析:2 + =2(4,2)+(3,4)=(11,8).OAB4.平面上 A(-2,1) ,B(1, 4) ,D (4,-3) ,C 点满足 = ,连 DC 并延长A21BC至 E,使| |= | |,则点 E 坐标为( )CA.(-8,- ) B.(- , )35381C.(0,1) D.(0,1)或(2, )31 http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司答案:B解析:x c= ,yc= ,故 C(-1,2).1224又 E 分 的比为 - ,CD4故 xE= .选 B.38415.设向量 a=( ,cos),向量 b=(sin, ),且 ab,则锐角 为( )231A.60 B.30 C.75 D.45答案:D解析:ab =cossin sin2=1 =45.316.(2006 广东深圳调考,7)按向量 a=( ,2)平移函数 f(x)=2sin(x- )的图象,得到函63数 y=g(x)的图象,则( )A.g(x)=-2cosx+2 B.g(x)=-2cosx-2C.g(x)=-2sinx+2 D.g(x)=-2sinx-2答案:A解析:函数 f(x)=2sin(x- )的图象向右平移 个单位,再向上平移 2 个单位,得到 g(x)=2sin(x-36- )+2=-2cosx+2 的图象.637(理)(2006 江苏启东模拟)设非零向量 a、b、c,若 p= ,那么| p|的取值范|cba围为( )A.0,1 B.0,2C.0,3 D.1,2答案:C解析:|p|=| | =3,选 C.|cba|cba(文)已知向量 ae,|e |=1 对任意 tR,恒有| a-te|a-e|,则( )A.ae B.a(a-e)C.e(a-e) D.(a+e)(a-e)答案:C解析:| a-te|a-e| a2-2ta +t2e2a2-2ae+e2 t2-(2ae)t+2ae-10,对任意 tR 都成立,故(2ae) 2-4(2ae-1)0,ae=1,e(a-e)=ae-e2=0 即 e(a-e). http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1 ) ,B (-1 ,3) ,若点 C 满足= + ,其中 、 R,且 +=1,则点 C 的轨迹方程为CABA.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=0答案:D解析:设 =(x,y), =(3,1), =(-1,3), =(3,), =(-,3),OOBAOB又 + =(3-,+3),(x,y)=(3-,+3).AB 又 +=1,因此可得 x+2y=5.,3ayx二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分.把答案填在题中横线上)9.(2006 江苏南京师大附中模拟, 13)给定两个向量 a=(1,2),b=(x,1),若 ab 与 ab 垂直,则 x 的值等于_.答案:2解析:(a+ b)(a-b)=0 a2-b2=0 1+22=x2+1,x=2.10.(2006 上海十校测试,10) ABC 的两条边上的高的交点为 H,外接圆的圆心为 O,=m( + + ),则实数 m=_.OHABOC答案:1解析:令A=90,则 O 为 BC 的中点,H 为 A 点,此时所给等式变为 =m( +0)Am=1.另解:取 BC 的中点 D,则 + =2 ,且只有 ODBC,AHBC ,由BCOD=m( + + ) + =m( +2 ) =(m-1)HAODAH+2m ,O =(m-1) +2m 0=(m-1) +0 m=1.BCOBCDBBC11.已知下列命题: =0; 若向量 =(-3,4),则 按向AAA量 a=(-2,1)平移后的坐标仍是( 3,4) ;“向量 b 与向量 a 的方向相反”是“b 与 a 互为相反向量”的充分不必要条件;已知点 M 是ABC 的重心,则=0.CMBA其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上).答案:解析:因 =0,故真,假;应为必要不充分条件,为真.A三、解答题(本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司12(本小题满分 10 分)已知向量 m=(a-sin,- ),n=( ,cos).21(1)当 a= ,且 mn 时,求 sin2 的值;(2)当 a=0,且 mn 时,求 tan 的值.解:(1)当 a= 时,m=( -sin,- ),221mn,由 mn=0,得 sin+cos= ,上式两边平方得 1+sin2= ,因此,sin2=-2121(2)当 a=0 时,m=(-sin,- ),由 mn 得 sincos= .即 sin2=421sin2= ,tan=2+ 或 2- .2tan1313(本小题满分 12 分)已知向量 a=(cos ,sin ),b=(cos ,-sin ),x , ,x2x64(1)求 ab 及| a+b|;(2)求函数 f(x)= (R 且 0)的最小值.|)(解:(1)ab=cos cos +sin x(-sin )=cos( + )=cos2x.23x2x3xa+b=(cos +cos ,sin -sin ),又 x , ,|a+b|=2cosx.64(2)f(x)= ,)cos21(cos2x又 x , , cosx .643g(t)=t- t 在 t0 为增函数.21当 0 时,cosx= 时,f(x)取得最小值 0;当 0 时,cosx= 时,f(x)取得最小值23 http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司6314(本小题满分 12 分)(2006 湖北孝感二模)已知ABC 中, = , =4,BC23A = ,PQ 是以 A 为圆心, 为半径的圆的直径,求 的最大值、AB32 BPCQ最小值.并指出取最大值、最小值时向量 的方向.PQ解: cosBAC= ,3852416 =5, =- ,ABCAPQ =( - )( - )= (- - ) ( -PQBACAQBA)A=-( ) 2+ ( - )+ = +3.ACAC设 与 的夹角为 ,则 =6cos.AQBQB当 cos=1 时,即 与 同向时, 有最大值 9;PCPC当 cos=-1 时,即 与 反向时, 有最小值-3.QBBQ15(本小题满分 14 分)已知向量 a=(cos,sin),b=(cos,sin)且| a+b|= |a-kb|,k- ,kR.31(1)用 k 表示 ab;(2)当 ab 最小时,求向量 a+b 与向量 a-kb 的夹角 的余弦.解析:(1) |a+b|2=3|a-kb|2 http:/www.zhnet.com.cn 或 http:/www.e12.com.cn中鸿智业信息技术有限公司( cos+cos)2+(sin+sin) 2=3(cos-kcos) 2+(sin-ksin)2.得 cos(-)= .13k由 k- 及|cos(-)|1,得 1- k1+ ,32a =coscos+sinsin=cos(-)= ,k1- ,1+ .b12k32(2)令 3k+1=t,则 t0,k= (t-1)代入上式可得3ab= ,31)24(61)24(612tt当且仅当 t=2,即 k= (t-1)时,取 “=”, (a b) min= .3此时 cos= 22)31()(|)() bakba= baba329123222将 a2=1,b=1,ab= 代入上式可得 cos= ,=arccos ,33即 a+b 与 a-kb 的夹角为 arccos
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