资源预览内容
第1页 / 共25页
第2页 / 共25页
第3页 / 共25页
第4页 / 共25页
第5页 / 共25页
第6页 / 共25页
第7页 / 共25页
第8页 / 共25页
第9页 / 共25页
第10页 / 共25页
亲,该文档总共25页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page1 of 24知识框架加法原理加法分类,类类相加乘法原理乘法分步,步步相乘排列 有序排列组合 无序组合容斥原理解决包含排除时,韦恩图是好帮手几何计数枚举、标数、树形图、插板、对应、分类计数、容斥原理等,只要方便随你用计数综合概率 组合排列要想全,发生与否看清晰一、 排列和组合排列数 12.1mnPnmL( ) ( ) ( )组合数 )32nmnC(二、 容斥原理ABABCABCUIIII三、 几何计数n 条直线最多将平面分成 个部分;n 个圆最多分平面2123()n的部分数为 n(n-1)+2;n 个三角形将平面最多分成 3n(n-1)+2 部分;n 个四边形将平面最多分计数模块综合复习教师:学生:上课时间:2013 年 月 日 :00- :00上课地点:红荔上步校区上课进度:第 讲课题:计数模块综合复习的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page2 of 24成 4n(n-1)+2 部分 数线段:如果一条线段上有 n+1 个点( 包括两个端点)(或含有 n 个“ 基本线段”),那么这n+1 个点把 这条 线段一共分成的线段总数为 n+(n-1)+2+1 条数角:数角与数线段相似,线段 图形中的点类似于角图形中的 边数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形(对应法),因为 DE 上有 15 条线段,每条线段的两端点与点 A 相连,可构成一个三角形,共有 15 个三角形,同 样一边在 BC 上的三角形也有 15 个,所以图中共有 30 个三角形数长方形、平行四边形和正方形:一般的,对于任意长方形(平行四 边形),若其横边上共有 n 条线 段, 纵边 上共有 m 条 线段, 则图中共有长方形(平行四边形)mn 个例题精讲【例 1】 袋中有 3 个红球,4 个黄球和 5 个白球,小明从中任意拿出 6 个球,他拿出球的情况共有_种可能 (2008 年北京“数学解题能力展示”读者评选活动)【 按最少的红球来分类:3 红时,黄 白 3,黄可取 0,1,2,3 共 4 种2 红时,黄 白 4,黄可取 0,1,2,3,4 共 5 种1 红时, 黄 白 5,黄可取 0,1,2,3,4 共 5 种0 红时, 黄 白 6,黄可取 0,1,2,3 共 4 种共有:4+5+5+ 4=18(种)【 一把硬币全是 2 分和 5 分的,这把硬币一共有 1 元,问这里可能有多少种不同的情况?【 按 5 分硬币的个数对硬币情况进行分类:如果 5 分硬币有奇数个,那么无 论 2 分硬币有多少个都不能凑成 100 分如表当 5分硬币的个数为 020 的偶数时,都有 对应个数的 2 分硬 币所以一共有 11 种不同的情况类别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115 分 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202 分 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0【例 2】 如图,沿着“北京欢迎你”的顺序走(要求只能沿着水平或竖直方向走) ,一共有多少种不同的走法?北北 京 北北 京 欢 京 北欢 迎 欢你 13271的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page3 of 24【 沿着“北京欢迎你” 的顺序沿水平或竖直方向走,北以后的每一个字都只能 选择上面的或左右两边的字,按加法原理,用 标号法可得右上图所以一共有 种走法1【 如下表,请读出“我们学习好玩的数学”这 9 个字,要求你选择的 9 个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻),这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法我 们 学 习 好们 学 习 好 玩学 习 好 玩 的习 好 玩 的 数好 玩 的 数 学【 第一个字只能选位于左上角的“我”,以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字,所以本题也可以使用 标号法来解:(在格子里标 数)共 70 种不同的读法【例 3】 一楼梯共 10 级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第 10 级,共有多少种不同走法?【 登 1 级 2 级 3 级 4 级 . 10 级1 种方法 2 种 3 种 5 种 . ?我们观察每级的种数,发现这 么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面两个数的和;依此规律我们就可以知道了第 10 级的种数是 89.其实这也是加法的运用:假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做 A0,那么登了 1级的位置是在 A1,2 级在 A2. A10级就在 A10到 A3 的前一步有两个位置;分 别是 A2 和 A1 在这里要强调一点,那么 A2 到 A3 既然是一步到了,那么 A2 、A3 之间就是一种选择了;同理 A1 到 A3 也是一种选择了同时我们假设到 n 级的 选择数就是 An 那么从 A0 到 A3 就可以分成两类了:第一类:A0 - A1 - A3 ,那么就可以分成两步有 A11 种,也就是 A1 种;(A1 - A3 是一种选择)第二类:A0 - A2 - A3, 同样道理 有 A2 类类相加原理:A3 = A1 A 2,依次 类推 An = An-1 + An-2【巩固】 12 的小长方形(横的竖的都行)覆盖 210 的方格网,共有多少种不同的盖法【 如果用 的长方形盖 的长方形, 设种数为 ,则 , ,对于 ,左nna12a3n351511 113451014610151512013570321的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page4 of 24边可能竖放 1 个 的,也可能横放 2 个 的,前者有 种,后者有 种,所21-1na-2na以 ,所以根据递推,覆盖 的长方形一共有 89 种-1-2nna0【例 4】 如图,地图上有 A,B ,C,D 四个国家,现用五种颜色给地图染色,要使相邻国家的颜色不相同,有多少种不同染色方法? DCBA【 为了按要求给地图上的这四个国家染色,我 们可以分四步来完成染色的工作:第一步:给 染色,有 种颜色可 选A5第二步:给 染色,由于 不能与 同色,所以 有 种颜 色可选BAB4第三步:给 染色,由于 不能与 、 同色,所以 有 种颜色可选CC3第四步:给 染色,由于 不能与 、 同色,但可以与 同色,所以 有 种颜DAD3色可选根据分步计数的乘法原理,用 种颜色给地图染色共有 种不同的554180染色方法【 如图,一张地图上有五个国家 , , , , ,现在要求用四种不同的颜色ABCDE区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同种颜色,那么这幅地图有多少着色方法? EDCBA【 第一步, 给 国上色,可以任选颜色,有四种选择;A第二步,给 国上色, 国不能使用 国的颜色,有三种选择;BA第三步,给 国上色, 国与 , 两国相邻,所以不能使用 , 国的颜色,只有CBAB两种选择; 第四步,给 国上色, 国与 , 两国相邻,因此也只有两种选择;DC第五步,给 国上色, 国与 , 两国相邻,有两种选择ED 共有 种着色方法43296【例 5】 右图中共有 16 个方格,要把 A,B ,C,D 四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子问:共有多少种不同的放法? 【 由于四个棋子要一个一个地放入方格内,故可看成是分四步完成这件事第一步放棋子 , 可以放在 16 个方格中的任意一个中,故有 16 种不同的放法;第二步放A棋子 ,由于 已放定,那么放 的那一行和一列中的其他方格内也不能放 ,故BAB的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page5 of 24还剩下 9 个方格可以放 , 有 9 种放法;第三步放 ,再去掉 所在的行和列的BCB方格,还剩下四个方格可以放 , 有 4 种放法;最后一步放 ,再去掉 所在的CDC行和列的方格,只剩下一个方格可以放 , 有 1 种放法由乘法原理,共有D种不同的放法164576【 在下图的方格内放入五枚棋子,要求每行、每列都只能有一枚棋子,共有多少种放法? 【 要放五枚棋子,肯定需要分五步完成 观察到图中的表格正好是五列的,刚好在每列放一个棋子于是,我们不妨按第 列、第 列、第 列、第 列、第 列的顺序依12345次摆放棋子第一步:在第 1 列填入一个棋子因 为第 1 列只有两个格,所以有 2 种放法第二步:在第 2 列填入一个棋子因 为第 2 列共有三个格,可是刚刚放在第一列的那个棋子占了其中的一行,所以有 3-1=2 种放法第三步:在第 列填入一个棋子因 为第 列共有四个格,可是被放在第一列、第二3列的那两个棋子各占了一行,所以有 4-2=2 种放法第四步:在第 列填入一个棋子同理推得有 5-3=2 种放法4第五步:在第 列填入一个棋子同理推得有 5-4=1 种放法5根据乘法原理,往方格内放入 枚棋子,每行每列只有一枚棋子,共有5种放法216【例 6】 在图中( 单位:厘米) :一共有几个长方形?所有这些长方形面积的和是多少?374218125【 一共有 (个)长方形;(4321)(43210所求的和是的奥数解决方案 六年级奥数杯赛冲刺.计数模块.计数模块综合复习.教师版 Page6 of 24 5128(512)(8)(1528)(1)(5128)473473473473(平方厘米)6【巩固】如图,其中的每条线段都是水平的或竖直的,边界上各条线段的长度依次为 5 厘米、7 厘米、9 厘米、2 厘米和 4 厘米、6 厘米、5 厘米、1 厘米求图中长方形的个数,以及所有长方形面积的和【 利用长方形的计数公式:横边上共有 n 条线段, 纵边上共有 m 条线段, 则图中共有长方形(平行四边形)mn 个,所以有(4+ 3+2+1)(4+3+2+1)=100,这些长方形的面积和为:(5+ 7+9+2+12+16+11+21+18+23)(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=12486=10664【例 7】 图中含有“”的长方形总共有_个【 根据本题特点,可采用分 类的方法计数按长方形的宽分类,数出含号的长方形的个数含有左上号的长方形有: 个,618其中,宽为 1(即高度为一层) 的含号的长方形为:6 个;宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为:6 个;宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为:6 个;含有右上号的长方形有: 个,24其中,宽为 1(即高度为一层) 的含号的长方形为:6 个;宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为: 个;62宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为:6 个;同时含有两个号的重复计算了, 应减去,同 时含有两个 号的长方形有:个,48其中,宽为 2(即高度为两层) 的含号的长方形为:4 个;宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为:4 个;所以,含有号的长 方形总共有: 个18234【巩固】由 20 个边长为 1 的小正方形拼成一个 长方形中有一格有“”图中含有“ ”的5所有长方形(含正方形)共有 个,它们的面积总和是
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号