C1-091 设 ABCDE 是圆内接五边形，假设 AC、BD、CE、DA 和EB 分别平行于 DE、EA、AB、BC 和 CD问是否可以推出这个五边形是正五边形？证明你的结论【题说】1992 年英国数学奥林匹克题 2【解】结论是肯定的易知1=4，2=5，又由于 ABCE，所以6=7=3从而A=BB-C=D=E又2=8=9=3，所以 BC=CD同理，有CD=DE=EA=AB综上知，ABCDE 是正五边形 C1-092 已知凸多边形的任意两边均不平行，对于它的每条边，考察与边所在直线距离最远的顶点对该边的张角证明：所有这样的张角之和等于 180【题说】第二十二届（1996 年）全俄数学奥林匹克十年级题7【证】对多边形的边 AB，恰有一个顶点到 AB 所在直线 a 的距离最远，记这个顶点为 Pa。在平面上任取一点 O，过 O 作两条直线分别平行于 PaA、P aB，这两条直线构成的对顶角称为边 AB 的对应角对每一条边，都可作出顶点为 O 的对应角首先证明：不同边的对应角决不重叠设以 O 为端点的射线 l，在边 AB 的对应角内边 AB 所在直线为 a，对应顶点为 Pa，过 Pa作 l 的平行线必交边 AB 于它内部的点 Q过 Pa作直线 a 的平行线 b由于 Pa到 a 的距离最远，所以多边形在平行线 a、b 所夹的带形中，由于多边形的边互不平行，在b 上只有 Pa这一点属于多边形于是线段 PaQ 是 l 的平行线截多边形所得的线段中最长的，而且最长的只有 PaQ 这一条也是 l 的平行线截多边形所得线段中最长的这就产生矛盾其次，证明这些对应角覆盖整个平面设 l 是以 O 为端点的射线，它与多边形的边及对角线均不平行l 的平行线截多边形所得线段，端点在多边形的边上，可以平行移动使得一个端点与多边形的顶点重合，而线段的长度比原来增加在过顶点的这些截线中又有一条最长设它为 PQ，P 是多边形的顶点，Q 在边 AB 的内部过 P 作 AB 所在直线 a 的平行线 b因为 PQ 最长，所以多边形夹在 a、b 之间，从而 P 是距 a最远的顶点 Pa，l 在 AB 的对应角内根据以上所述，对应角的和为 360，而所有张角之和是它的一半，即 180 C1-093 设线段 AB 的长为 2l，中点为 C，以点 C 为圆心，小于 l 的任意长为半径，在 AB 上作一半圆，并从 A、B 作这半圆的切线，切点分别记为 D、E若 DE 弧上任意一点 F 处的切线与自A、B 所作切线分别交于 A、B证明：AABB=l 2【题说】1956 年武汉市赛题 5利用相似三角形【证】按题意，作出图，因为 AC=BC=l，CD=CE=r（半径）故 RtADCRtBEC，从而有1=6，DAC=EBC又由切线性质知，2=3，4=5，所以2+5+6=90从而有 AAC=90-2=5+6=BCB故 AACCBB即 AABB=l 2 C1-094 设 P 为单位圆周上的任意一点，A 1、A 2、A n为圆内接正 n 边形的顶点求证：PA 12+PA22+PAn2是常数【题说】 1957 年上海市赛高三决赛题 5【证】如图，在PA 1O 内，令POA 1=，则由余弦定理，=2-2cos=2n-2S【别证】以 O 为原点，以 OA1为实轴，以 OA1为单位长，建立复平面，用复数方法来计算 C1-095 假设 E 是正方形 ABCD 的边 AB 的中点，在边 BC 和 CD上取点 F 和 G，使 AG 和 EF 平行证明：线段 FG 和正方形 ABCD的内切圆相切【题说】1960 年匈牙利数学奥林匹克题 3题中正方形可以改为菱形【证】如果点 F 给定，那么点 G 由条件 AGEF 唯一确定因此可改证：如果线段 FG 和正方形的内切圆相切，那么 AGEF正方形的内切圆是FCG 的旁切圆我们再画出该三角形的与 CF 边相切的旁切圆设这个圆与 DC 的延长线切于 R 点点 F是两个圆的内相似心，因为它是内公切线的交点这两个圆分别与平行直线 AB、DC 相切，切点 E、R 和内相似心 F 在一直线上并在 F 的两侧设 K 为 CD 的中点，则它也是FCG 的一个旁切圆与 CG 延长线的切点，易知所以，四边形 AERG 是平行四边形，AGEF C1-096 在一小岛上有一架探照灯，它照在海面上的光柱长为a（如图），并绕一垂直轴旋转其光柱末端以速度 v 运动证明：以最大速度 v8 行驶的快艇，不可能在不被探照灯照到的情况下驶到海岛【题说】1965 年全俄数学奥林匹克八年级题 5【证】假设快艇从 A 点进入探照区（以 O 为圆心、以 a 为半径的圆），分 R（以 A 为圆心、S 为半径的圆与O 的重叠部分）整个区域 R因此，快艇一定会被探照灯照射到 C1-097 一个半圆周 y 以线段 AB 为直径C 是 y 上与 A、B 不同的一点D 是 C 到 AB 的垂足若 y1、y 2、y 3是以 AB 为公切线的三个圆，且 y2是ABC 的内切圆，y 1、y 3同时切 CD 和 y求证：圆 y1、y 2、y 3有两条公切线【题说】第十一届（1969 年）国际数学奥林匹克题 4本题由芬兰提供【证】令 AB=2r，CAB=，则不难算出O 1、O 2、O 3（如图）的半径为O1E1=2rsin（1-sin）O2E2=r（cos+sin-1）O3E3=2rcos（1-cos）以及它们与 AB 的切点距 AB 中点 O 的距离E1O=r（2sin-1）E2O=r（cos-sin）E3O=r（2cos-1）由此不难得出O2E2E1E3=O1E1E2E2+O3E3E1E2于是 O1、O 2、O 3在一直线上由对称性，这三个圆还有另一条公切线 C1-098 大小不等的三个圆两两外切，半径成等差数列，以各圆心为顶点的三角形，其三个内角的大小可否成等差数列？证明你的结论【题说】1979 年天津市赛一试题 3【解】如图设三个圆的圆心分别为 O1、O 2、O 3，半径依次为r-d，r，r+d，于是O 1O2O3的三边分别是O1O2=2r-d，O 1O3=2r，O 2O3=2r+d若O 1O2O3的三内角成等差数列，则必有一个角为 60，并且夹这个角的两边必为 2r-d 与 2r+d因此，由余弦定理有：（2r-d） 2+（2r+d） 2-2（2r-d）（2r+d）cos60=（2r） 2此式左端=4r 2+3d2，而右端=4r2，但由题设知 d0，故上式不能成立这就证明了O 1O2O3的三个内角不能成等差数列 C1-099 如图，圆中的三条弦 PP1、QQ 1、RR 1两两相交，交点分别为 A、B、C已知 AP=BQ=CR，AR 1=BP1=CQ1求证ABC 是正三角形【题说】1979 年北京市赛一试题 3【证】如图，设AP=BQ=CR=m，AR 1=BP1=CQ1=n，BC=x，AC=y，AB=z则由相交弦定理得三式相加得 m=n，因此 x=y=z，故ABC 是正三角形C1-100 位于圆形斗兽场中心的狗看见墙那里有一只兔子兔子沿着墙跑，狗追赶兔子，它始终保持在圆心与兔子的连线上，速率与兔子相同证明：当兔子跑了圆周 14 时被狗捉住【题说】第十一届（1979 年）加拿大数学奥林匹克题 4【证】如图，O 1以 OC 为直径设兔子从 A 点向 C 点跑，则狗由此可知，当兔子跑到 C 点时，狗沿着O 1跑到 C 点捉住了兔子