柱锥台球的表面积和体积公式高三数学 刘玉国 2011 年 12 月 5 日 星期一A 级课时对点练一、选择题(本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)1母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该43圆锥的体积为 ()A. B. C. D. 2281 881 4581 1081解析：设圆锥的底面半径为 r，则 ，r ，2r1 43 23圆锥的高 h .1 (23)2 53圆锥的体积 V r2h .13 4581答案：C2(2010杭州二次质检) 如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 ()A6 B12 3C24 D3解析：注意到此题的几何体是底面边长为 2 的正三角形，于是侧面积为 S6424.答案：C3(2010德州质检) 下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ()A6 B18 43 3C182 D323解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为 1 的球，其中正三棱柱底面边长为 2，侧棱长为 3，故其表面积S4 22 22323182 .(12) 34 3答案：C4(2010淮南模拟) 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示则该多面体的体积 ()A48 cm 3B24 cm 3C32 cm 3D28 cm 3解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图其中侧面矩形 ABCD 中，AD6(cm) ，AB4(cm)，底面等腰三角形 ADF 的底 边 AD 上的高为 4(cm)，则其体积V 44648(cm 3)12答案：A5(2010厦门模拟) 已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为 ()A24 B2432 3C24 D242解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为 1，母线长为 3，故其体积 V234 1231224 .32答案：A二、填空题： 6如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直径为 1 的圆，那么这个几何体的侧面积为_解析：由三视图的知识，它是底面直径与高均为 1 的圆柱，所以 侧面积 S.答案：7若球 O1、O 2 表面积之比 4，则它们的半径之比S1S2 _.R1R2解析：S 14R ，S24R ， 4， 2.21 2S1S2 R21R2 R1R2答案：28(2010泰安模拟) 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为_解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，因此V 122.12答案：三、解答题(本题共 2 小题，每小题 10分，共 20 分) 9已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图) 是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底面是长、宽分别为 8 和 6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为 8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为 6、高为 h2 的等腰三角形，如右图所示(1)几何体的体积为：V S 矩形 h 68464.13 13(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h 1 5.42 32左、右侧面的底边上的高为：h 2 4 .42 42 2故几何体的侧面面积为：S2 4024 .(1285 12642) 210某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示，墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH.图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积 解：(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为V VPEFGH V ABCDEFGH 4026040 2201364 000(cm 3)B 级素能提升练(时间：30 分钟 满分：40 分) 一、选择题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)1(2010新课标全国卷) 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ()Aa 2 B. a2 C. a2 73 113D5a 2答案：B2(2010北京卷)如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为2，动点 E、F 在棱 A1B1 上，动点 P，Q 分别在棱 AD，CD上，若 EF1，A 1Ex，DQy，DPz(x，y ，z 大于零)，则四面体 PEFQ 的体积 ()A与 x，y ，z 都有关 B与 x 有关，与 y，z 无关C与 y 有关，与 x，z 无关 D与 z 有关，与 x，y 无关解析：从题图中可以分析出，EFQ 的面积永远不变，为面 A1B1CD 面积的 ，而当 P 点变化时 ，它到面 A1B1CD 的14距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化答案：D二、填空题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)3(2010惠州质检) 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 12，则它们的面积比为 14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 12，则它们的体积比为_解析： .V1V213S1h113S2h2 S1S2h1h2 14 12 18答案：184已知一几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为 6，俯视图为正方形，一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD 内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长为_，高为_时，棱柱的体积最大，这个最大值是_解析：根据条件可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x，则 高为 6x ，从而由 Vx 2(6x)知，当 x4 时，即底面边长为 4，高为 2 时，棱柱的体积最大，最大体积为 32.答案：4232三、解答题(本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)5直三棱柱高为 6 cm，底面三角形的边长分别为 3 cm,4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为 R， 圆柱的高即为直三棱柱的高 在ABC 中，AB3( cm)，BC4(cm) ，AC5( cm)，ABC 为直角三角形根据直角三 角形内切圆的性质可得 72R5，R 1(cm)V 圆柱 R 2h6( cm)而三棱柱的体积为 V 三棱柱 34636(cm 3)12削去部分体积为 3666(6)(cm 3)即削去部分体积的最小值为 6(6) cm3. 6如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA18.若侧面 AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC、BC、A 1C1、B 1C1 的中点，当底面 ABC 水平放置时，液面高为多少？解：当侧面 AA1B1B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面 ABFE 为梯形设ABC 的面积为 S，则 S 梯形 ABFE S，34V 水 SAA16S.34当底面 ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为 h，则有 V 水 Sh，6SSh，h6.故当底面 ABC 水平放置时，液面高为 6.