5、2 虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 对应时间间隔 ，同时满足运动微分方dtvrdt程虚位移： 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更 t虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念） ，以 表示irv（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在 时刻的位置和约t束方程，并不对应一段时间间隔（ ，它是一个抽象的等时变分概)0t念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的t可能位移，即视约束方程中的 不变（ ，对约束方程进行等时变分运算)0t（同微分运算，注意 即可得虚位移；)0t对于稳定约束，由于约束方程中不显含 ， “冻结”已无实t 际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。Example 质点被限制在以等速 匀速上升的水平面内运动，u约束方程为 0tzzudtz（3 ）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。见 图 5.21273p二、理想约束实功作用在质点上的力（含约束力 ）在实位移 中所作的功 iRvrdvdW 虚功作用在质点上的力（含约束力 ）在任意虚位移 中所作的功 iRvrvW其中 为第 个质点受的约束力 若 iRviii0体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零 理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 021211 rffrfrf vv（ ； 刚性杆约束所允许）Q2f由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一） （受约束力学体系的力学原理之一）体系受 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处k于平衡状态，即 （ 对系统求和0iiRFv2,1i)n0iiii rRrFvv对于理想约束 则iiiiii rrv iii W0iiiF虚功原理 具有理想约束力学体系，其平衡的i iiziiyiix F0)( 充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由 ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，W0iiirFv欲求约束反力 ，需用拉格朗日未定乘数法iR2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1 ）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2 ）将 表示为广义坐标 的函数，并求出 （ ） ；irvqirviiizyx,（3 ）由虚功原理列出平衡方程，并令 的系数为零，求出平衡条件。q （ 是互相独立的；不能令 的系数为零， 它们不是互相独立的）q iiizyx, Q例一（5、 1）ABcD2/l1sqsin)2/(lcyDQi DymgrFW0v0oc又 cos2sirc 0sin2o)/( rlyD则 0in)/(2rl )41(2)/(2clrc2cl)(42例二（5、 2） 1sqco)(RlyBA cos2s)(RlyCsin inin又 2si)(l s2silcoscoRlcoRl又 02CAymg 0cos)(sin)(sin)(2 tgRlll tg3广义坐标下虚功原理的表达式 （ ）21,(qriv),tssiiqr1v0tQniFW1sini1vsniiqrF1vs10是互相独立的， （ 1，2 ， ） 广义坐标下虚功原理的表达式Qq0Qs广义力 它是广义坐标 （ 1，2 ， ）的函数 q ni ni iiziiyiixi qFFqr11 )(v例题 1 三个主动力 276pP2v3 2s1q21Q331 111)(ii iiziiyiixi qFqFqrv 321yFxP23131 2222 )(i i iiziiyiixi 321snlxsin1si1llcos213lly1Q0)i(co21121lFlPl FPtg)sin(s222 ll t2例题 2 （5、2） 1qi CBAiziiyix yPyPFFQ- =0sin)(RlPsin)(lsin)(Rld)sin(2coco2ldQcod0s2sinsi)(3RlPRlP tg3