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随机过程习题解答(一) 第一讲作业: 1、设随机向量 的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布 。 (a)分别写出随机变量 和 的分布密度 (b)试问: 与 是否独立?说明理由。 解:(a) (b)由于: 因此 是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为: 因此 与 独立。 2、设 和 为独立的随机变量,期望和方差分别为 和 。 (a)试求 和 的相关系数; (b) 与 能否不相关?能否有严格线性函数关系?若能,试分别写出条件。 解:(a)利用 的独立性,由计算有: (b)当 的时候, 和 线性相关,即 3、设 是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T 的函数,即 , 试求方差函数 。 解:由定义,有: 4、考察两个谐波随机信号 和 ,其中: 式中 和 为正的常数; 是 内均匀分布的随机变量, 是标准正态分布的随机变量。 (a)求 的均值、方差和相关函数; (b)若 与 独立,求 与Y 的互相关函数。 解:(a) (b) 第二讲作业: P33/2解: 其中 为整数, 为脉宽 从而有一维分布密度: P33/3解:由周期性及三角关系,有: 反函数 ,因此有一维分布: P35/4. 解:(1) 其中 由题意可知, 的联合概率密度为: 利用变换: ,及雅克比行列式: 我们有 的联合分布密度为: 因此有: 且V和 相互独立独立。 (2)典型样本函数是一条正弦曲线。 (3)给定一时刻 ,由于 独立、服从正态分布,因此 也服从正态分布,且 所以 。 (4) 由于: 所以 因此当 时,当 时,由(1)中的结论,有: P36/7证明: (1) (2) 由协方差函数的定义,有: P37/10. 解:(1) 当i=j 时 ;否则 令 ,则有第三讲作业: P111/7解: (1)是齐次马氏链。经过 次交换后,甲袋中白球数仅仅与 次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。 (2)由题意,我们有一步转移矩阵: P111/8解:(1)由马氏链的马氏性,我们有: (2)由齐次马氏链的性质,有: , (2)因此:P112/9解: (2)由(1)的结论,当 为偶数时,递推可得: ; 计算有: ,递推得到 ,因此有: P112/11解:矩阵 的特征多项式为: 由此可得特征值为: ,及特征向量: , 则有:因此有: (1)令矩阵 P112/12解: 设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。记每天天晴为0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为000,为状态0;第一天晴,第二天晴,第三天雨为001,为状态1;第一天晴,第二天雨,第三天晴为010,为状态2;第一天晴,后两天阴为011,为状态3,等等。根据题目条件,得到一步转移矩阵如下: 第四讲作业: P113/13解:画出状态转移图,有: P113/14. 解:画出状态转移图,有: P113/16解:画出状态转移图,有: (1)由于三个状态都是相通的,所以三个状态都是常返态。 (3)状态3、4无法和其他状态相通,组成一个闭集,且 ,所以状态3、4为常返态;另外状态0、2相通组成一个闭集,且 ,故状态0、2是常返态;因为 ,故,所以状态1为非常返态。 (4)0、1相通作成一闭集,且 ,故0、1为常返态;又 ,因此 ,故2为常返态; ,故3、4为非常返态。 第六讲作业: P115/17解:(1)一步转移矩阵为: (2)当 时,由计算可得 ,因此可由以下方程组计算极限分布: 解得极限分布即可。 P115/18解:由第七题的结果,计算可得:, 因此可计算极限分布如下: 解以上方程,得极限分布: P115/19解:见课上讲稿。 P116/21解:记 ,则有: (1)因为: (A) 当 时,有: 由(A)可得: 当 且 时,有: 由(A)可得: 当 且 时,有: 由(A)可得: 另外:下列等式是明显的 因此我们有: 即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为: (2)画出转移矩阵图,可得: 由 :及 ,并且取 ,由递归可得: (3)由于: 因此,零状态是正常返的,由相通性,故所有状态都是正常返的,即此马氏链是不可约的。 (4)由马氏链的无后效性,可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有: 随机过程习题解答(二)P228/1。证明:由于 ,有tsntNPkskstntP)()()(,/其中 )()!(!)()()( stknsketestksNP tntNP!)()(所以 knkknk tnstkskstsettP 1)!()( !)(!)()(/)( )(证毕。P229/3. 解:(1)因为 是一Poission过程,由母函数的定义,有:0),(tN)()( )()( )()()()00000)( ssjtNPltNPlkssltlt lktNPslt sltltPsktstt j jl lk lklllk lkkl lkk klkt (2)有上面(1)的结果,可得: tssttstsNttNtNtt ttNtN1)()( )()()(0)(0)()(limli(3)当 充分小时,由于:t 2100)( )()()(1kkkktN stststPs 因此,当 时,有:1s )1()()()( 200limli stttsts kktNt 由(2)的结果,我们有: )(1()( ssttNNP229/4. 解:(1)由上面3题的结果(3),我们有:tstNNtNt ess)1()()0( )()(1( (2)由于 是随机过程 的母函数,且 ,将函数 关于)(stNt tst)1()(ts)1(展开成级数形式,我们可得:)1(s 0)1()( !kktktstN sete由母函数与分布函数的唯一性定理,可得: L2,1,!)()(ekttPtP230/8. 解:由特征函数的定义,我们有: nYuintitntXuitXuitXeENeNPeEn1210)(0)()(!)(L令 ,则有:)(11ueEYui(*)1)(exp!)(110)( utnut YtYtX 若 的概率分布为:,21(Ln 2121,nnPYP则(*)uiuiYuiY eeeEnn 2121)(将(*)代入(*),我们有: tett euuiui uiitX )(exp 1)()( 2121 21 P230/7. 解:先求 的特征函数:0),(0tNtett emtnt etetEeuuiui tuit titui muitmnuitntNitNui ttuititN )(expxp!)(!)()( 2121 )(0(201 )()()( 21 21 2121100 由上面8题的结果,根据特征函数与分布函数的唯一性定理,可知 是复合0),(0tNPoission过程。P231/10. 解:由于 ntXtPtjktX)()(,)(32132112因为 的母函数为:)(tXi,tssitN)1(exp)(由独立性,可知 的母函数为:)(321Xtt, 1 321)()( 1ittX tsss所以 是参数为 的泊松过程,即)(321ttX321tnetntttP 321!)()( 32321 因此我们有: njkjtntkjtjtkjknjeenXXt )()!(! )!(!)(,)321321132121 32131 P231/12. 解:(1)由 )(1)(1)(,0)(, toPktXPtktXPt rr L令 ,有0t )()()(1tPtdtPkrkrk 解得 tPkrrettX!)()((2)由(1)知, 服从参数为 的泊松分布。)(tXrPP232/15. 解:(1)以 表示 时刻系统中不正常工作的信道数,则 是一马氏)(tt 0),(t过程,其状态空间为: , 矩阵为:2,10SQ2)(0(2)令: )()()(2212010tpttpttttP则前进方程为: 3)0(IPQttd(3)令: )()(jttpj)0,1(,)(210pt rr写出福克普朗克方程: )0,1()pQttdr即有:0)(,)0(,1)(2)(2)()(02 1010pptttdtpttptpd做Laplace变换,令: 2,1,)()(ntLsnn则有: )(2)()( )(2112 100sss s由上解得: )()(2)()(23)( 20 sCsBAss其中: 222 )(,)(,)(BA因此求 )()(010sLtp即可。(4) ttBABA etTPttTP 2, P233/16. 解:(1)令 表示 时刻系统中正在用电的焊工数,则 是一马氏过)(tt 0),(t程,其状态空间为: 。,210mSL(2) 矩阵为:Q m000 0)2()(221)1( 00MLOM(3)令: )()(jtPtpj)0,1()0,(,)(,)(210 LrLr pttpttpm写出福克普朗克方程: )1(0,1()0mpQttdLr(4)画出状态转移率图,可得 时的平衡方程:t1)1()1()(210010mnm nnnp pppm M由此可得: 0)1()()(101 ppnnnL即有: 0)1()(nnpmmpn ,2,1 L由此可以求得: npCpmnmp nmnn ,10,1)( 00 LL 由 ,即可确定 ,最终得到所要的结果。10mn 0P233/17. 解:(1)由于: )0,(, anan可以得到此过程的 矩阵:Q OOLanana )( 02220)(0令: )()(jtPtpj),(,)(210 Lr tpt n写出福克普朗克方程: M)(1( )()() )(3)()(2)()()()(1212 10110tpntpanatdp tttpt paadtpttn n初始条件: 。0),1)0( 0jpjn (2)由数学期望的定义: 10)()()()(nntptttE由此,我们有: )()( )(
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