2.3逻辑函数的化简方法,2.3.1 化简的意义,2.3.2 公式化简法,2.3.3 卡诺图化简法,2.3.4 具有无关项的逻辑函数及其化简,2.3.1 化简的意义,一、化简的意义,使逻辑图简化，从而使电路具有下列优点：, 逻辑电路所用门的数量少, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路构成级数少, 逻辑电路保证能可靠地工作,例：,显然，两电路的功能完全一样。,Y=ABC+ABC+ABC =A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =AB+AC,Y=ABC+ABC+ABC,二、逻辑函数的最简表达式,使逻辑函数达到最简形式，从而使逻辑电路达到最简。、最简与或表达式函数式中相加的乘积项不能再减少，而且每项相乘的因子不能再减少时，则函数式为最简形式。例：上例中，Y=ABC+ABC+ABC不是最简形式；Y=AB+AC 是最简形式。,例：,Y=ABC+ABC+ABC,化成最简与或式为,用与门和或门实现为,2、最简与非与非表达式, 将逻辑函数式化成最简的与或式；,非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。,方法：,最简与或式为：Y=AB+AC, 用与非门实现为,Y = AB+AC = (AB+AC) = (AB)(AC), 利用狄摩根定理，去掉下面的非号；, 在最简与或表达式的基础上两次取反；,3、最简或与表达式,括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。,求出反函数的最简与或表达式,利用反演规则写出函数的最简或与表达式,4、最简或非或非表达式,非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。,求最简或与表达式,两次取反,用摩根定律去掉下面的非号,5、最简与或非表达式,非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。,求最简或非-或非表达式,用摩根定律去掉大非号下面的非号,2.3.2公式化简法,一、并项法,例：,ABC+ABC=AC(B+B)=AC,将两项合并为一项，消去B和B这一对因子 。A和B都可以是任意复杂的逻辑式。,AB+AB=A,利用公式,例：,若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。,二、吸收法,利用公式A+AB=A将AB项吸收而消去。,例：,AB+ABCD(E+F)=AB,例：,三、消项法,消去多余乘积项。,例：,ABC+CD+ABD,利用公式,AB+AC+BC=AB+AC,=ABC+CD,及 AB+AC+BCD=AB+AC,例：,解：先求出Y的对偶函数YD，并对其进行化简。,求YD的对偶函数，便得的最简或与表达式。,四、消因子法,例：,AB+(AB)C=AB+C,A+AB=A+B,消去多余因子A。,利用公式,例：,五、配项法,A(B+B)=A,（互补律）,例：,、利用公式,为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。,例：,A+A=,在函数式中重复写入某一项，以达到进一步简化的目的。,（重叠律）,、利用公式,例：,2.3.3卡诺图化简法,一、卡诺图表示法、表示最小项的卡诺图, 定义将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列，所得到的图形成为n变量最小项的卡诺图。, 卡诺图画法 二变量卡诺图,每个最小项有2个最小项与它相邻,三变量卡诺图,每个最小项有三个最小项与它相邻,四变量卡诺图,每个最小项有4个最小项与它相邻,最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的,最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的,五变量卡诺图,注意：中心轴对称两边的最小项也是相邻项。,2、用卡诺图表示的逻辑函数(1) 由逻辑函数画出卡诺图,1、根据标准与或式画卡诺图方法：将逻辑函数化成最小项之和形式；在卡诺图上，对应于函数式中最小项的位置填1，其余位置填0。,即任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填入1的那些最小项之和。,例：画Y=A+BC的卡诺图。解：最小项之和形式为：,卡诺图为：,卡诺图为：,解：最小项之和形式为：,m1,m4,m6,m15,m8,m9,m11,m10,2、由一般逻辑式直接画卡诺图因为将逻辑式转化为标准与或式时，要乘未出现变量的互补律，因此，不转化而直接画在卡诺图上即可。,卡诺图为：（填0处可省略）,例：画Y=ABCCD+BD的卡诺图。,先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。,BD项少A、C，则在B=1，D=1，A、C=0、1处都填1。,ABC项少D，则在A=0，B=1，C=0， D=0、1处都填1；,CD项少A、B，则在C=0， D=1，A、B=0、1处都填1；,分项看：,解：这是四变量逻辑函数，画四变量卡诺图。,变换为与或表达式,公因子为,公因子为,说明：如果求得了函数的反函数，则对中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。,例：,卡诺图为：,则可写出原函数表达式为：(由1组成的项),反函数表达式为：(由0组成的项),(2) 由卡诺图写出逻辑函数,二、用卡诺图化简逻辑函数、化简的依据,A+AB=A,因为卡诺图上下左右任意相邻的两格之间，只改变一个变量，因此，当两个相邻项为“”时，可合并为一项。其依据是基本公式：,、合并最小项的规则、消去变量个数规则,、圈相邻两个“”，可消去改变值的一个变量；、圈相邻四个“”，可消去改变值的两个变量；、圈相邻八个“”，可消去改变值的三个变量；、圈相邻n个“”，可消去改变值的n个变量；,例：圈相邻两个“”,可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子） 。,例：圈相邻四个“”。,B,例：圈相邻八个“”。, 画圈的规则, 先圈大，后圈小，即先圈八格，后圈四格、二格保证所得乘积项数目最少且每个乘积项包含的因子最少； 必须是相邻方格的“”，才能圈起来； 允许方格重叠被圈(A+A=A)，但每个圈内必须有一个以上（含）的“”未被其它圈圈过； 没有相邻项的“”，要单独圈出。 不能漏掉任何一个标“1”的方格。, 求反函数与求原函数的区别,求原函数时圈的是“”，求反函数时圈的是“”。其消去变量个数和画圈的规律都相同。,化简时，圈“1”还是圈“0”，根据需要，哪个简单，采用哪个。（当0的数目远小于1的数目，或要将函数化为最简的与或非式，或要求Y的化简结果）,得反函数为：,则原函数为：,返回,小结：相邻最小项的数目必须为偶数个，才能合并为一项，并消去变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。,3、卡诺图化简举例 化简函数为最简“与或”式,步骤：,根据逻辑函数式画卡诺图；,合并最小项；,化成最简与或表达式；, 化简函数式,化简后得：,化简后得：, 化简函数式,化简后得：, 化简函数式,或,显然化简结果不是唯一的，圈法不同，其结果也就不同。, 化简函数为最简“与或非”式（圈“”）化 简函数式,化简后得：,反函数最简“与或”表达式为：,原函数最简“与或非”表达式为：,两点说明：, 在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。, ,不是最简, ,最简, 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。, , ,1,1,1,00 01 11 10,00011110,1,1,1,1,1,2.6.4具有无关项的逻辑函数及其化简,一、约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项、约束、约束条件和约束项 约束,定义：对输入变量取值所加的限制称为约束，同时把这一组变量称为具有约束的一组变量。,例：,电动机A=1表示电动机正转，B=1表示电动机反转，C=1表示电动机停止。则：A=1时，必须B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0,表示正转、反转和停止工作状态的逻辑函数可写成,电动机任何时候只能执行且必须执行其中的一个指令，所以不允许两个或两个以上的变量同时为1，ABC的取值不能是000、011、101、110、111中的任何一种。即 逻辑变量A、B、C之间互相制约，取值有限制，这就是约束。,例：,四叉路口的交通灯A=1表示绿灯亮，B=1表示黄灯亮，C=1表示红灯亮。则：A=1时，必须B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0即 逻辑变量A、B、C之间互相制约，取值有限制，这就是约束。, 约束条件,定义：用与描述约束的具体内容，称为约束条件。,电动机A=1表示电动机正转，B=1表示电动机反转，C=1表示电动机停止。则：A=1时，必须B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0,ABC的取值不能是000、011、101、110、111中的任何一种。,例：,根据约束关系，其约束条件可以表示为：,或写成：,例：,四叉路口的交通灯A=1表示绿灯亮，B=1表示黄灯亮，C=1表示红灯亮。则：A=1时，必须B=0、C=0B=1时，必须A=0、C=0C=1时，必须A=0、B=0即 逻辑变量A、B、C之间互相制约， 取值有限制，这就是约束。,根据约束关系，其约束条件可以表示为：,或写成：AB+BC+AC=0, 约束项,定义：约束条件中的每个最小项称为约束项，且每个约束项的值恒等于。,在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0，所以既可以将约束项写入逻辑函数式中，也可以将约束项从函数式中删掉，而不影响函数值。,例：,将约束条件 AB+BC+AC=0展开成最小项表达式为：,显然,2、任意项,定义：在输入变量的某些取值下，函数值可以是1，也可以是0，即任意的，并不影响电路的功能，则对应的其值是1的那些最小项称为任意项。,例：,含有约束条件的逻辑函数式为：,令,则,故不考虑约束项时,即,考虑约束项时，因为约束项的值恒等于0，不影响原函数表达式的值，,故,即,一般约束项往往就是任意项。,故称 ABC、ABC、ABC为任意项。,3、无关项,定义：约束项和任意项统称为无关项。无关项的表示：因为在函数式中加与不加约束项、任意项，都不影响函数值，故在卡诺图中，无关项用或表示，它可以代表“0”，也可以代表“1”，根据需要而定。,例：,四叉路口的交通灯A=1表示绿灯亮，B=1表示黄灯亮，C=1表示红灯亮；Y=1表示停，Y=0表示行。则,真值表,函数表达式及约束条件为,或,二、具有约束条件的函数表达式及其化简、函数表达式,