第三节 函数的极限与连续性,三年7考高考指数:1.了解函数极限的概念.2.掌握极限的四则运算法则,会求函数的极限.3.了解函数连续的意义,了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质.,1.利用常见简单函数极限及两个重要极限，通过恒等变形用函数极限的四则运算法则解决有关问题是常考内容,以考查函数极限的求法为主. 2.利用初等函数在其定义域内每一处的极限值等于该点函数值求函数的极限是高考的重点.3.试题多以选择题、填空题的形式考查，属中档题.,1.函数的极限,1.当x+时f(x)a,也记作称a为当x趋向于正无穷大时f(x)的极限；2.当x-时，f(x)a,也记作称a为当x趋向于负无穷大时f(x)的极限；3.当且仅当时， 称a为当x趋向于无穷大时f(x)的极限.,1.当xx0且xx0时，f(x)a,记作 称a为f(x)在点x0处的左极限；2.当xx0且xx0时，f(x)a,记作 称a为f(x)在点x0处的右极限；3.当且仅当 称a为f(x)在点x0处的极限.,【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)如果函数在x=x0处存在极限，函数在这一点处一定有定义 ( )如果 ，那么 ( )如果 那么 ( )如果 那么 不存在 ( ),【解析】不一定，如但f（x）在x=0处没有意义.正确；中x-不在f(x)的定义域内；答案： ,2.函数极限的运算法则若 那么 =_; =_; =_.特别地， =_(C为常数).,ab,ab,【即时应用】(1)思考：若函数f(x)、g(x)满足那么 是否正确？提示：不一定.如f(x)=x+ g(x)=x,满足 都不存在.,(2)计算： =_.【解析】答案：2,(3)计算： =_(nN*).【解析】答案：0,3.函数的连续性(1)函数f(x)在点x=x0处连续如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近_，而且=_，就说函数f(x)在点x0处连续(2)函数f(x)在开区间(a，b)内连续如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内_，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续,有定义,f(x0),每一点处都连续,(3)函数f(x)在闭区间a，b上连续对于闭区间a，b上的函数f(x)，如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点xa处有_，在右端点xb处有_，就说函数f(x)在闭区间a，b上连续(4)函数的最大值、最小值定理如果函数f(x)在闭区间a，b上是_，那么f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值,连续函数,【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)函数f(x)在区间(a，b)内连续，则函数f(x)一定有最大值和最小值 ( )若函数f(x)在xx0处连续，则 ( )若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在a点处左连续，在b点处右连续. ( ),【解析】结论不一定成立，函数在(a，b)内不一定存在最值，如： 内既无最大值，也无最小值；结合函数f(x)连续性的概念， 存在，并且结论正确；f(x)在闭区间a,b上连续，则在a点处右连续，在b点处左连续答案： ,型函数极限的求法【方法点睛】1. 型极限的求法(1)若分子、分母是关于x的多项式,一般是分子、分母同除以分母中最高次幂的项. 转化为极限存在的情况，再用运算法则求极限.,(2)若分子、分母是关于x的根式函数，则分子、分母同除以x的最高次幂，但要注意变量变化趋势对偶次方根正、负值的影响.(3)若分子、分母是关于x的指数型函数，则将分子、分母同除以底数绝对值较大的幂.,2.“”型与“()”型极限的求法不能直接应用运算法则求解，通常应采用通分，分子、分母有理化等手段变形转化后再求解.求形如 型的极限，基本方法是分子有理化，再应用基本极限 求解.【提醒】应用函数极限的运算法则时应注意：各个函数极限都应存在；四则运算法则可以推广到有限个情况，但不能推广到无限个，且这有限个的极限都存在.,【例1】求下列极限的值：,【解题指南】对于(1)(2)，观察函数的结构特征，通过适当地变形，转化为基本函数求极限；对于ax的极限，x+时，若极限存在必有0a1；当x-时若极限存在，必有a1,所以第(3)小题应分子、分母同除以底数较小的幂指数式2x；第(4)小题同除以底数较大的幂.,【规范解答】,【互动探究】(1)本例(2)变为如何求解？(2)本例(2)变为 如何求解？(3)本例(2)变为 如何求解？,【解析】1.,2.,【反思感悟】解决此类问题，要根据给出式子的形式，如果含有根式形式的一般都采用分子有理化，如(2)将“-”型转化为“ ”型的极限运算；对于分式形式，一般采用通分将其进行变形求解，这里体现了转化与化归的数学思想.,【变式备选】求下列极限的值：,【解析】,(3)当0a1时， 原式=0；当a=1时，ax=1,原式=当a1时，综上，,型函数极限的求法,【方法点睛】 型函数极限解题思路,【例2】求下列极限的值：【解题指南】(1)直接将-1代入求解；(2)分子、分母因式分解，约分后代入求解；(3)分母有理化.,【规范解答】(1)原式 (2)原式 (3)原式,【反思感悟】1.对连续函数f(x)求 一般采取直接代入法，即2.对于“ ”型的极限，一般对分子、分母进行因式分解，找出公共的零因子，并约去，使化简后的式子的分母的极限存在且不为零，从而求出极限值,【变式训练】求下列极限的值：,【解析】,【变式备选】 _(m和n为已知的正整数).【解析】答案：,2.求 的值.【解析】,含参数的函数极限问题【方法点睛】含参数的函数极限问题的求解策略(1)已知函数的极限值，求函数表达式中的参数，要准确理解函数极限的定义及相关的运算法则；,(2)求分式函数在xx0时的极限，要注意约去公因式(x-x0)后，再代入x0的值得极限的值；(3)通过等价转化，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)，从而求出参数的值或参数的取值范围.,【例3】(1)(2012南宁模拟) 则a,b的值为( )(A)a=2,b=-8 (B)a=-2,b=-8(C)a=2,b=-2 (D)a=8,b=-8(2)已知mN*,a,bR，若 则ab=_.(3)若 求a,b的值.,【解题指南】(1)(3)将极限进行适当地变形,然后根据所给条件进行分析,进而确定所求的值.(2)把(1x)m应用二项式定理展开，再根据极限存在的条件确定a，b的值,【规范解答】(1)选A.令 则解得c=4，a=2,b=-8.,(2) 若 则(1+x)m+a不含常数项，即原式答案：-m,(3)原式解得a=25,b=20.,【反思感悟】能够求出函数的极限是学习极限部分最基本的要求，而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，是对知识灵活运用的一种体现.求解此类问题，首先要根据函数极限的定义及相关的运算法则求出极限，再根据参数满足的条件列出一个关于参数的方程(组)，解方程(组)求出参数，这实际上是用待定系数法解决问题.,【变式训练】(1)已知 =_.(2)若 求a,b的值.,【解析】(1)令ax2+bx+1=a(x-1)(x+c)，则ax2+bx+1=ax2+a(c-1)x-ac,解得a=4,b=-5.答案：-5,当x1时， 的极限存在，则分子、分母中必有公因式(x-1),a-b2=-1,约去公因式(x-1),原式,函数的极限与连续性【方法点睛】1.函数f(x)在点x0处连续必须满足三个条件(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)函数f(x)在x=x0处有极限；(3)函数f(x)在x=x0处的极限等于在这一点x0处的函数值，即 处是否连续的重要工具.,2.解决与函数连续性有关问题的基本依据(2)如果f(x)在x0处连续，则一般依据以上两点建立方程(组)，求出相应的参数的值.【提醒】自变量x无限趋近于x0时f(x)的极限为a，不要求判断f(x)在x=x0处是否有意义.,【例4】已知 若函数f(x)在R上是连续的函数，求实数a、b的值.【解题指南】首先求出 再根据连续性的概念建立关于a、b的方程，求出a、b.,【规范解答】又函数f(x) 在R上是连续的函数,又函数f(x)在x=0上是连续的函数,【反思感悟】函数定义域分界点是讨论函数连续性的关键，对于本题x=0，x=1是两个分界点，其连续性必须同时满足函数在点x0处连续的条件.解决此类问题要明确函数连续性的定义，注意解答的规范性、严谨性.,【变式训练】设 问a、b为何值时，f(x)在定义区间内连续.,【解析】a=1时,f(x)在x=0处连续.b=2时，f(x)在x=1处连续 .而函数在其定义域内均为连续函数，当a=1,b=2时，f(x)在定义区间内连续.,【变式备选】讨论 在定义区间的连续性.,【解析】当k=2时,此时f(x)在(-,+)内连续.当k2时，此时f(x)在x=-1处不连续,在(-,-1),(-1,+)上连续.,【易错误区】错用函数极限的运算法则导致失误 【典例】(2011重庆高考)已知则a=( )(A)-6 (B)2 (C)3 (D)6【解题指南】本题可以直接利用极限运算法则；也可以将式子 通分，然后利用极限运算法则求解.,【规范解答】选D.方法一：解得a=6.,方法二:解得a=6.,【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议：,