2.2 向量组的线性相关性和秩,一、线性表示，线性相关和线性无关,矩阵的运算法则完全适用于向量的运算,定义2.5：,设 是n维向量，,是实数,定义2.6：,向量组中任一向量可由该向量组自身线性表示。,称 为n维基本向量组，,定义2.7：给定向量,一些重要结论：,两个问题 （1）,（2）表达的唯一性引出坐标的概念。,线性无关,其中每一个向量,都不能被其余向量线性表示。,（线性无关的实质）,。（线性相关的实质）,二、向量组的极大无关组和秩,定义2.8：,向量组等价的性质：,若矩阵A 矩阵B,初等行变换,则A,B的行向量组等价。,定义2.9：,注意:,（重要定理）,定理得证。,推论1：,推论2：,推论3：,定义2.10：,（秩的比较定理）,向量组（）,与向量组（）,则（）等价于（），,故（）可由（）线性表示，,同理,（）等价于（），,故（）可由（）线性表示，,又已知（）可由（）线性表示，,故（）可由（ ）线性表示，,定理2.7：,例2：,例3：设向量组,线性无关，又,证明：,线性无关。,即,结论 行秩=列秩=2 是巧合吗?,定义：,三、用初等行变换求秩和极大无关组,定理2.8：,矩阵A的秩既等于其行秩,也等于其列秩.,矩阵的初等行变换不改变其列向量组间的线性关系.,解：,仅求向量组的秩,求矩阵的秩,对矩阵实行初等(行,列)变换化为阶梯形,求向量组的极无关组并用它表示其它向量,将向量组依列排成矩阵，进行行变换至行最简形,