1数学：重读二十世纪的数学教育后的若干思考1对于数学教育原则的思考二十世纪的数学教育一文发表至今已五十多年了。半个世纪过去， “弹指一挥间” ，世界发生了很大变化，数学教育改革也有长足的进展。特别需要指出，随着科技的发展和社会的进步，今天数学教育改革的任务比过去更为迫切。研究数学教育，必须考虑数学和教育这两个重要方面。二十世纪中，数学科学在理论方面进一步拓广和完善，形成分支众多、体系更加严密的综合学科。许多重要的数学问题在这一世纪中或者得到彻底解决，或者有了重大进展。在对传统问题的认识不断深化的同时，许多新的研究问题又被提出，一些新的研究方向被确立，一些新的研究分支已形成。特别是电子计算机自二十世纪 40 年代问世以来，为数学理论的发展注入了新的活力，使得数学这门模式与秩序的科学在理论的深度和广度上均迅速发展。数学在应用方面更是突飞猛进，随着计算机和网络的普遍使用，IT 产业蓬勃兴起，当今世界已开始步入数字化时代，数学成为各个领域普遍使用的重要工具，数学技术已成为当代最重要的技术手段之一。当代数学所处理的是普遍存在的各种信息（包含数据信息和可以数据化的信息） ，是自然现象、人类行为、社会系统中的数学模型。从飞机制造中的计算机模拟设计，到医疗诊断中的 CT 与核磁共振扫描技术；从经济规划中的投入/产出模型，到现代军事中的高技术信息战；从遗传学中的 DNA 解码；到石油勘探中的小波法矿藏定位在现代生活的各个领域中，数学都发挥着前所未有的巨大威力。总之，数学的理论和应用的发展，是我们考虑新世纪数学教育时的重要基础。数学教育改革的进程要与这种发展相适应， “学科在前进，教育却依旧”的现象，是不能继续下去的。二十世纪中随着科学技术的高速发展，各国的生产力和经济基础都有不同程度提高，作为上层建筑的教育也随之发生巨大变化。这种变化又给予社会的政治和经济重要的影响和作用。在我国，最近二十多年的改革开放也带来教育事业的蓬勃发展。随着义务教育法的颁布实行，基础教育规模迅速增大，教育的质量也有很大提高。由于大力提倡素质教育，对于知识和技能以外的培养目标，例如创新精神和实践能力，更加引起人们重视。经济的发展，使得传统的劳动方式不断向知识型劳动转化，正如人们所预言的“今后的工作领域将是更少体力的而更多脑力的；更少机械的而更多电子的；更少因循守旧的而更多革新创造的” ，整个社会对新一代人的要求（当然包括数学知识和数学能力方面的要求）大大提高。正如所说：“教育要面向现代化，面向世界，面向未来” ，这是我国教育发展的大方向，自然也是我国数学教育发展的大方向。教育观念的进步和教育科学的进展，也引发了人们对于数学教育新的认识。近年来，人们更加关注“大众教育” ，关注受教育者在人格、人文素养、实践能力等诸方面的全面发展，学习心理学理论中有关自主学习的观点，日益为大家所接受。让学生通过直接参与，积极探索，对知识进行再发现，生动、活泼、主动地进行学习的研究和实验，正在不断深入。这些变化给数学教育既带来新的问题，又提供了新的动力。在新的形势下，数学教育怎样进行？关键在于抓住根本。今天，重读二十世纪的数学教育一文，我们体会到：陈建功先生对数学教育的主张，核心是要积极而稳妥地贯彻2“实用性” 、 “论理性”和“心理性”的原则。这些主张在当时是完全必要的和非常及时的，即使在今天也同样具有重要的现实意义。陈先生将“实用性”列为三大原则的第一条，足以见其对它的重视。数学源于实践，又服务于实践。学数学在于在未来的生活和工作中运用数学知识和数学的思维方法。数学教育要面向全体学生，使他们都能有所发展，有所收获。因此，增强数学教育的实用性，是使学生明确学习目的，理论联系实际，锻炼实践能力所必须的。在今后的数学教育中，数学知识的应用不能再单纯地停留在简单测量、会计常识等小生产初级阶段的水平，而应逐步与现代生产、现代生活的水平接轨。在当今数学应用日益广泛深入到科学与社会的各个领域的大背景下，选择哪些联系实际的学习内容和怎样深入浅出地让学生学习这些内容，使具有时代气息的数学应用进入中学教学？这是应不断探索的课题。具有“论理性”是数学教育的鲜明特点，数学依靠逻辑推理和创造性，学习数学可以帮助养成头脑中的批判习惯。正如陈先生所说：“仅仅乎实用性原则，不足以支配整个数学教育。数学并不是公式的堆垒，也不是图形的汇集，数学是由推理组成的体系。假如把数学当作图形集成或公式采编看待，忽视其方法和构造，那么，对于自然支配、社会组织，不但不成为一种武器，有时且成为有害的东西例如将数学机械地乱用，得出不合理的结果。 ”数学教育要重视“论理性” ，这与现在常说的“让学生学会数学思想方法” ， “数学教育不仅要重视结果，更要重视过程”等是一致的。数学不是只强调计算与规则的课程，而是讲道理的课程， “论理”就是讲道理。但是，提倡“论理性”的原则，并不是一味地强调推理的严密和体系的完整，而是既要体现“论理性” ，又不片面夸大它。在数学教学中，讲道理并不等同于纯粹的形式证明，这种认识也反映在陈先生对几何改革的建议中。怎样恰当地体现数学教学的“论理性”？这也是需要与时俱进地探索的问题。“心理性”的原则在当前数学教育改革中尤应引起重视。应该看到：以往的数学教育中，学科方面考虑的多，学生方面考虑的少。这也是对一些学生的数学教育不成功的重要原因。当今， “以学生发展为本”的教育思想逐渐确立，教育心理学的研究不断深入，数学教育改革应特别考虑学生的心理因素。 “为什么教学生学数学？” “教学生学什么样的数学？”和“怎样教学生学数学？”对这些数学教育中基本问题的研究，都离不开认知规律。兴趣是学习的动力，合理的学习方法能极大地提高学习效果。将心理学的成果运用于数学教学，遵循认知规律，最大限度地调动每个学习者的潜能，使数学学习更生动活泼，从而更有效，这在数学教育中极具现实意义。陈先生批评不注重心理性的教育“没有教育的价值” ，这又一次提醒我们：要实现数学教育的价值，必须尊重学生的心理发展规律。我们认为：上述三个原则，在今天仍不失为数学教育的基本原则。我们应结合新的实际情况，在实践中对它们不断加深认识和加以贯彻。2对于借鉴外国数学教育的思考从二十世纪的数学教育一文中介绍外国数学教育的有关材料，可以看出陈先生非常关心国际数学教育发展动态，重视借鉴他国的经验教训，这种虚心的治学态度和严谨的治学方法是研究数学教育所不可缺少的。二十世纪 50 年代以后，国际数学教育界十分活跃， “结构主义” “新数学运动” “回到基础” “问题解决” “建构理论”等潮流此起彼伏，新观点新学说层出不穷以3后，我国进入改革开放时期，数学教育方面的对外交流日益扩大，2000 年我国人员出席国际数学教育大会已有相当规模。随着信息技术的进步，了解外部世界已变得简单迅捷。应该看到，与陈先生当年相比，现在可获取的信息量已大大增加，政策上已极为宽松，手段上已非常先进。在这样的有利条件下，我们更需要的是陈先生那样的事业心，更需要他那种高瞻远瞩的眼光和勤于学习的精神。陈先生谈到 F.克来茵时，称赞这位德国的硕学几何学大家不以大学教员不与闻中等教育为然，而是非常关心中学的教改。其实陈先生本人也同样如此，他是现代杰出的数学家，在分析学方面的研究博大精深，是著名的大学教授，但他对于中学数学教学极为关注，还曾与他的学生编写过中学数学教材。从二十世纪的数学教育一文，可以发现陈先生在对待外国数学教育上，持分析批判的态度，对于其中有进步意义的东西（例如数学教育改造运动的基本精神等） ，予以充分肯定并提倡向之学习；对于其中不可取的东西（例如意大利 1923 年至二战期间逆改造运动精神的中学数学教育） ，予以鲜明的反对。他说：他在二十世纪的数学教育一文中， “把外国的数学教育，噜噜苏苏说了许多的话” ，而这样做的目的非常明确，就是要洋为中用，借助外国数学教育这块“他山之石” ，引出中国数学教育的“美玉” 。我们现在研究外国的数学教育，目的也是为搞好自己的事情。一方面应该积极向外部学习，另一方面应注意结合本国国情。对事情要一分为二，既不妄自尊大，又不妄自菲薄。自己的长处要发扬光大，短处要努力弥补；人家的优点要虚心学习，缺点要引以为戒。在借鉴方面，切忌盲从，不应不求甚解地追潮流。国外的数学教育有许多值得我们借鉴的东西，但全盘照搬不行。前些年美国数学教育中提倡以“问题解决”为核心， “合作学习”和“轻松愉快的学习”的呼声很高，而对计算和推理等的基本要求降得很低，结果使得教育质量下降，引发“加州数学大战”这样的争论。美国内布拉斯加大学数学教授史蒂文邓巴认为：“目前美国中学的多数学生只知道把数字填进公式里，而不去理解怎样运用这些数据去解决实际问题。这正是我们在中学数学教育方面失败之所在。 ”美国官方和教育专家们认为，其他国家，特别是一些亚洲和东欧国家在中学数学教学当中，注意培养学生的分析、论证和解决难题的能力。而美国则把注意力放在一般的书本练习方面。这些完全不同的方法可以帮助我们解释为什么美国中学生数学成绩不佳的原因。来自美国教育成果评估委员会的调查报告显示，几乎三分之一的美国高中生的计算能力在基本要求水平之下。为此，美国国家科学研究委员会的一个专门小组特别提出建议，呼吁美国应该尽快彻底检查其目前相当肤浅的数学教育现状，重新制定数学教学大纲，把解决问题、理论概念和实际应用三者结合起来，设计和安排教学内容，以尽快提高美国学生的数学水平。2000年 4 月美国学校数学的原则和标准正式发表，其中有了改变“问题解决”的核心地位，提高推理方面的要求等一系列新变化，旨在纠正偏差，提高数学教育质量。 ，对人家的东西要多思，取其精华，去其糟粕。如果我们不分清红皂白地一味追随人家，就会跟着吃亏。所以，对于外国数学教育，不仅要勤于学习，还要善于学习。陈先生在这方面的态度和方法，是值得我们学习的。3对教学内容改革的思考教学内容的改革是数学教育的重大问题。随着时代的发展，原有教学内容中不符合时代要求的部分必须删减，而同时必须增加时代所需要的内容。这种内容的减法和加法，是不断进行的，问题在于所减的内容与所加的内容是否恰当。这个问题在 20 世纪初存在，在420 世纪 50 年代初期存在，在迈入 21 世纪的今天同样存在。陈建功先生在二十世纪的数学教育一文中，对于当时的教学内容的增减提出很有道理又很有远见的意见。他主张首先要简化运算，坚决地除去繁难的、非实质的、脱离实际的代数和三角运算，简化论证几何，同时力主增加微积分，并用平易直观的方法来处理，还要增加类似统计这样的联系实际的新内容。遗憾的是由于当时历史的局限性，这些主张未能完全得以实现。长期以来，我国的中学数学内容在删繁就简方面还做了一些工作，取得一些成绩；但是在内容更新方面却进展甚微。50 年代在教学内容上“向苏联学习”的结果，使得微积分、概率统计等具有广泛应用的近代数学内容长期被拒之于中学门外，这种做法延续了三十余年，与发达国家相比有很大差距。到了 80 年代，我国的中学数学中才开始增加这些内容，但又因升学考试等因素的影响，这些作为“选修”的内容逐渐名存实亡。直至 90 年代后期，时代的进步已不允许我们继续停滞不前，经过数学教育界的不懈努力，才将微积分、概率统计、向量等内容又列入全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用） ，编写了含有这些内容的全日制普通高级中学教科书数学（试验本） ，并于 20 世纪最后一年在两省一市进行这些内容的教学试验。回过头看这一段漫长而又艰难的改革之路，令人感慨万分。一方面，我们对老一辈数学家的远见卓识由衷地钦佩；另一方面，我们深感教学内容的每一个改革成果来之不易。面向 21 世纪，改革数学教学内容，既要考虑现实和未来社会的需要，又要考虑数学自身的科学结构以及数学的应用价值和教育价值，还要考虑学生的发展规律。这是一个综合性很强的系统课题，必须以很强的力量广泛调查，认真研究，反复实验，才能取得理想的成果。微积分和