保定学院本科毕业论文（设计）题目：迭代思想在高等数学中的应用 系 （部）数学与计算机系 学科门类 理学 专 业 数学与应用数学 学 号 姓 名 指导教师 职 称 副教授 2014 年 05 月 29 日摘 要迭代思想在高等数学中的应用摘 要迭代法，是一种借助计算机运算来完成的不断用变量的旧值递推新值的过程。本文主要就是介绍一些普遍使用的迭代法解线性方程组和非线性方程，并对各种迭代法条件的限制、收敛性及迭代效率高低进行比较，从而得出求方程根的最适用解法，并借助MATLAB 软件完成迭代法的计算机实现。关键词：迭代方法 线性方程组 非线性方程 收敛速度 MATLABABSTRACTIteration method is a process which is with the aid of computer algorithms to complete the old value of the variable to the recursive new value continuously. In this paper ,is mainly introduced some of the commonly used the iterative solution of linear equations and nonlinear equations,as well as compare the restriction、convergence and efficiency of the linear equations, then concluded the most effective of the equation root solution. And with the help of MATLAB software to complete the iteration method of computer implementation.Key words：Iterative methods Systems of linear equations group Nonlinear equation Convergence rate MATLAB目 录目 录1 引言 .- 1 -2 求解方程(组) 根的几种迭代法 .- 1 -2.1 求线性方程组的迭代法 .- 1 -2.1.1 雅可比迭代法 .- 1 -2.1.2 高斯-赛德尔迭代法 .- 1 -2.1.3 逐次超松弛迭代法 .- 2 -2.2 求非线性方程的迭代法 .- 2 -2.2.1 简单迭代法 .- 2 -2.2.2 牛顿迭代法 .- 2 -2.2.3 弦割法 .- 3 -3 分析比较各种迭代法的实用性 .- 3 -3.1 线性方程组的迭代收敛性分析 .- 3 -3.2 各类迭代法收敛速度的比较 .- 4 -3.2.1 线性方程组求根方法的比较 .- 4 -3.2.2 非线性方程求根方法的比较 .- 6 -4 迭代算法的计算机实现 .- 7 -4.1 高斯-赛德尔迭代法的 MATLAB 实现 .- 7 -4.2 非线性方程中牛顿迭代法的 MATLAB 实现 .- 8 -5 总结与展望 .- 9 -5.1 本文总结 .- 9 -5.2 工作展望 .- 9 -参考文献 .- 9 -致 谢 .- 11 -附 录 .- 12 -保定学院 2014 届毕业论文（设计）- 1 -1 引言方程(组)求根问题是很有实际意义的，解决这些问题主要有两种方法，即解析法和数值法。解析法得到的是精确解，但通过解析法并不能求得所有方程(组)的根。我们经常会遇到的高次方程或超越方程以及一些非线性方程的求解问题就需要我们寻求其它方法得到比较精确的近似解。所以本文主要介绍一些迭代思想在解决方程(组)求根问题中的应用，及其在计算机上的实现。2 求解方程(组)根的几种迭代法解析式是不能够用来表示一般方程 或 个未知量的方程组0)(xfn,的解的。所以这里我们将介绍几种求近似解的普遍适用方12(,)0,12infxinLL法迭代法。首先明确迭代法的基本思想，即对于给定的方程 ,经过恒等变形成0)(xf为 ,改写成迭代格式为 ,选定初始值 ,使用迭代格式反复不断校正根)(1kkx0的近似值，求得符合精度要求的近似根值。下面介绍几种求解线性方程组和非线性方程的迭代法。2.1 求线性方程组的迭代法2.1.1 雅可比迭代法在求解线性方程组 121212nnnaxaxbLM的解时，若 ,则构成迭代公式0ia(1)()()(k)213112222(1)()()()12,1kkknkkkknnnnnxaxaxbxxxa L给定初值 ,令 可得 .如果此序列收敛于 ,那么每T,)0()(201)(L,L)( x个分量序列 必收敛于 , .这种解法称为雅可比迭代法。ki i2.1.2 高斯-赛德尔迭代法在雅可比迭代法的使用过程中，按公式计算 ,右边全是 的分量，只有当)1(kix)(kx的分量被全部算出后，才能用 的分量代换 的分量来算得 ,而如果想将已)1(kx ()kx (2)经算出的分量立即代替 对应的分量来求 ,那就需要借助另外一种方法高斯-赛德)(kx(2)k尔迭代法。其迭代公式为迭代思想在高等数学中的应用- 2 -(1)()()(k)213112222(1)(1)(1)(1)2,kkknkkkknnnnnxaxaxbaxxxLM2.1.3 逐次超松弛迭代法在高斯-赛德尔迭代法中改写第 i 个分量并在校正量前乘以一个 ,可得(1)() ()()11211(1)() ()()11(1)() ()kkkkni nkk kki i jijjinkk knnijnxxbaxxxxxaxaxxbx