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第一节 函数及其表示,三年9考 高考指数:1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数;3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).,1.函数的概念、定义域及表示法(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.常和对数、指数、函数的性质等相结合考查,有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择、填空题为主,属中低档题.,1.函数的概念,条件,给定两个非空数集A和B;按照某个对应关系f;集合A中任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应.,结论,对应关系f叫作定义在集合A上的函数,记法,f:AB,或y=f(x),xA,自变量与函数值,自变量是x.当x=a时,则用f(a)表示函数y=f(x)的函数值.,【即时应用】(1)思考:函数定义中对集合A中的元素有什么要求?提示:全部参与对应;在集合B中对应元素存在且唯一确定.,(2)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)A=R,B=x|x0,f:x|x|; ( )A=R,B=R,f:xx2; ( )A=Z,B=R,f:x ( )A=Z,B=Z,f:xx2-3. ( ),【解析】否,因为A中的元素0在B中没有对应元素;否,因为A中的元素为负整数时在B中没有对应元素;是,满足函数的定义,是从A到B的函数.答案:否 是 否 是,2.函数的构成要素函数由_、_、_三个要素构成,对函数y=f(x),xA,其中,(1)定义域:自变量x的_.(2)值域:函数值的集合_.,定义域,值域,对应关系,集合A,f(x)|xA,【即时应用】(1)判断下列各组函数中,是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”)f(x)=x与g(x)=( )2 ( )f(x)=|x|与g(x)= ( )f(x)=x|x|与g(x)= ( )f(x)= 与g(t)=t+1(t1) ( )(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3,那么其值域为_.(3)设集合A=x|y= ,集合B=y|y=x2,xR,则AB=_.,【解析】(1)否,函数f(x)与g(x)的定义域不同;否,函数f(x)与g(x)的对应关系不同;否,函数f(x)与g(x)的定义域不同;是,函数f(x)= =x+1(x1)与g(t)=t+1(t1)是同一函数.(2)当x取0,1,2,3时,对应的y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3.(3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.,答案:(1)否 否 否 是(2)-1,0,3 (3)x|x2,3.函数的表示方法表示函数常用的方法有:_、_和_.,列表法,图像法,解析法,【即时应用】(1)下列四个图像是函数f(x)=x+ 的图像的是_.,(2)若f( +1)=x+ 则f(x)的解析式为_.,【解析】(1)f(x)= (2)方法一:令t= +1,则x=(t-1)2,t1,代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1).方法二:x+ =( +1)2-1,f( +1)=( +1)2-1.又 +11,f(x)=x2-1(x1).,答案:(1)(2)f(x)=x2-1(x1),4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因_不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.,对应关系,【即时应用】(1)已知函数f(x)=(2)设 若f(x)=3,则x=_.,【解析】(1)(2)当x-1时,-x+2=3,得x=-1,符合要求;当-1x2时,x2=3,得x= 只有 符合要求;当x2时,2x=3,得x= 不符合要求.综上可知,x=-1或答案:(1) (2)-1或,5.映射的概念,条件,两个非空集合A与B间存在着对应关系f;A中的_元素x,B中总有_的一个元素y与它对应.,结论,_称为从A到B的映射,一一映射,f:AB,记法,像与原像,A中每一个元素在B中都有_的像与之对应;A中的不同元素的像_;B中的每一个元素都有_.,_称为原像,_称为x的像,f:_,每一个,唯一,对应关系f,A中的元素x,B中的对应元素y,唯一,也不同,原像,xy,【即时应用】(1)思考:设f:AB是一个映射,则A中每一个元素都有像,而B中的每一个元素都有原像吗?提示:不一定.由映射的定义可知B中的每一个元素在A中不一定有原像.,(2)设A=0,1,2,4,B= 0,1,2,6,8,判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)f:xx3-1 ( )f:x(x-1)2 ( )f:x2x-1 ( )f:x2x ( ),【解析】不是,当A中的x=0,2,4时在B中没有对应元素;不是,当A中的x=4时在B中没有对应元素;是,满足映射的定义,是从A到B的映射;不是,当A中的x=2时在B中没有对应元素.答案:否 否 是 否,求简单函数的定义域、值域【方法点睛】1.求简单函数的定义域的方法(1)若已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解.,(3)求抽象函数的定义域:若已知函数f(x)的定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.,2.求简单函数值域的方法(1)观察法;(2)图像观察法;(3)单调性法;(4)分离常数法;(5)均值不等式法;(6)换元法.,【例1】(1)(2012西安模拟)函数f(x)= 的定义域为_.(2)已知函数f(2x)的定义域是-1,1,求f(x)的定义域;(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3;y=log3x+logx3-1;,【解题指南】(1)根据解析式求定义域,只需构建使解析式有意义的不等式组求解即可;(2)求抽象函数的定义域,要明确2x与f(x)中x的含义;(3)根据解析式的特点,分别选用图像观察法;均值不等式法;单调性法求值域.,【规范解答】(1)要使该函数有意义,需要 解得:x2.所以所求函数的定义域为(-,-2)(-2,-11,2)(2,+).,答案:(-,-2)(-2,-11,2)(2,+)(2)f(2x)的定义域为-1,1,即-1x1, 故f(x)的定义域为 2.,(3)y=(x+1)2-1,在0,3上的图像如图所示,由图像知:0y32+23=15,所以值域为0,15.,y=log3x+ -1,定义域为(0,1)(1,+),当0x1时,y当x1时,y综上可知,值域为(-,-31,+).x2-1-1,又y=2x在R上为增函数, 故值域为 +).,【互动探究】若本例(2)中条件不变,求f(log2x)的定义域.【解析】由本例()中知f(x)的定义域为 2,函数y=f(log2x)中, log2x2,即: log2xlog24, x4,故函数f(log2x)的定义域为 4.,【反思感悟】1.求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式(组),从而求解.2.f(g(x)的定义域为a,b,指的是x的取值范围是a,b,而不是g(x)的取值范围是a,b.3.求函数的值域时,若能画出图像,则用图像观察法求解;若能判断单调性则用单调性法求解;若能满足均值不等式的条件,则用均值不等式法求解.,【变式备选】若函数f(x)= 的定义域为R,则a的取值范围为_.【解析】因为函数f(x)的定义域为R,即 0,对xR恒成立,亦即x2+2ax-a0恒成立,需=(2a)2-4(-a)=4a2+4a0即可,解得:-1a0.答案:a|-1a0,分段函数及其应用【方法点睛】分段函数求值、解不等式及求解析式的方法处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论.【提醒】分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.,【例2】(1)(2012南昌模拟)已知函数则f(x)-f(-x)-1的解集为( )(A)(-,-1)(1,+)(B)-1, )(0,1(C)(-,0)(1,+)(D)-1, (0,1),(2)已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.,【解题指南】(1)求解关于分段函数的不等式,一般的思路是根据每一段的解析式分类求解,再求其并集.(2)已知图像形状,求解析式,可用待定系数法.,【规范解答】(1)选B.当-1x0时,0-x1,此时f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1,得x 则-1x当0x1时,-1-x0,此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1,解得x 则0x1. 故所求不等式的解集为-1, )(0,1.,(2)根据图像,设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b (x1).点(1,1),(0,2)在射线上,左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);同理,x3时,函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0),,
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