第三节 函数的奇偶性与周期性,三年11考 高考指数:1.了解函数奇偶性的含义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性；3.了解函数周期性,1.函数奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题;3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题.,1.函数奇偶性的定义(1)图像定义：f(x)为奇函数图像关于_对称；f(x)为偶函数图像关于_对称；(2)符号定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个xf(x)为偶函数_;f(x)为奇函数_.,原点,y轴,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),【即时应用】(1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自图像有什么对称性？提示：f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称.,(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”)y=x2-|x| ( )y=sin3x ( )y=x+ ( )y=3x-3-x ( )y=|x|cosx ( )y=x2,x(-1,1 ( ),【解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数,为偶函数，,为奇函数,是非奇非偶函数.答案：否 是 是 是 否 否,(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，那么a+b的值是_.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=f(x)= +bx,又f(-x)=f(x),即又x ,b=0,故a+b= +0=答案：,(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2,则f(x)=_.【解析】由题意知f(0)=0,当x0,f(-x)=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),f(x)=-x2,答案：,2.周期性(1)周期函数：常数T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：T0;f(x+T)=_对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就称为它的最小正周期,f(x),最小的正数,最小的正数,【即时应用】(1)已知函数f(x),对任意xR，都有f(x+4)=f(x),且x(0,2)时，f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_.(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为_.,【解析】(1)f(x+4)=f(x),f(x)的最小正周期为4，f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 01212=2 012.(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)=f(x).最小正周期为2.答案：(1)2 012 (2)2,判定函数的奇偶性【方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路(1)符号定义法：,(2)图像定义法：,(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性,奇函数与奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数,和 差,奇函数,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,偶函数,偶函数,偶函数,偶函数,偶函数,积 商,【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.,【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x3-x;(2)f(x)=(x+1)(3)【解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数的奇偶性.,【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x),f(x)为奇函数.(2)使f(x)=(x+1) 有意义，则有 0且1+x0,解得函数的定义域为(-1,1,不关于原点对称，因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，当x0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；当x0时,-x0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立，函数f(x)为奇函数.,【互动探究】若将本例(2)的函数改为 其奇偶性又如何呢？【解析】易知函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1)，关于原点对称，又f(-x)=函数f(x)为奇函数,【反思感悟】利用符号定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则可能得到错误结论.,【变式备选】判断下列函数的奇偶性.,【解析】(1)由函数f(x)的定义域为-1,1.又对于定义域内的任意x,f(-x)=0=f(x),函数f(x)既是奇函数，又是偶函数.,(2)显然函数的定义域为R，又函数f(x)为奇函数.,(3)由函数f(x)的定义域关于原点对称，函数f(x)为奇函数.,函数奇偶性的应用【方法点睛】应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，利用已知区间上的解析式，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.,(3)求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程求解.(4)应用奇偶性画图像和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性.,【例2】(1)(2011安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=( )(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3(2)(2011辽宁高考)若函数 为奇函数，则a=( )(3)(2012咸阳高考)已知偶函数f(x)在区间0，+)上单调递增，则满足f(2x )f( )的x的取值范围是( )(A)(-,0)(B)(0, )(C)(0, ) (D)( ,+),【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性：(1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解；(2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构建a的方程求解；(3)得到f(2x- )=f(|2x- |),将原不等式转化为f(|2x- |)f( ),从而求解.,【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义得f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-2(-1)2+1=-3.(2)选A.函数f(x)为奇函数,f(x)+f(-x)=0恒成立，即 恒成立.可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立.整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0,a=,(3)选B.f(x)为偶函数，f(2x- )=f(|2x- |)，又f(x)在0,+)上单调递增,由f(|2x- |)f( )得：|2x- |解得:0x0时，-x0,又x0时，f(x)=2x2-x,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x),即:-f(x)=2x2+x,f(x)=-2x2-x.综上,【反思感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想.,【变式备选】奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)0的解集是_.,【解析】由奇函数图像对称性补出其在-5,0)上的图像，由图像知解集为(-2,0)(2,5.答案：(-2,0)(2,5,函数周期性的应用【方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(x+a)= 则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；,(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则kT(kZ,k0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)；若已知区间m,n(m10时，|lgx|1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个.,【反思感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化.,【变式训练】设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+1)=f(1-x).当x0,2时，f(x)=2x-x2.(1)求证：f(x)是周期函数;(2)当x2,4时，求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).,【解析】(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)是周期为4的周期函数.,(2)当x-2,0时，-x0,2，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-x2,当x-2,0时，f(x)=x2+2x.又当x2,4时，x-4-2,0,f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.从而求得x2,4时，f(x)=x2-6x+8.,