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专题六二次函数中的探究性问题1.已知,如图,把抛物线 L1:yx 2 的图象平移得到抛物线 L2 过原点 O 和 A(4k,0)两点,其中 k 0,顶点为 C,过点 C 作直线 CD 平行于 y 轴,与抛物线 L1 交于点 D.(1)直接写出平移后抛物线 L2 的解析式( 用含 k 的代数式表示);(2)连接 AC、OC、AD、OD.判断四边形 OCAD 的形状,并说明理由;四边形 OCAD 的形状能否成为正方形, 如果能,求出 k 的值,如不能,说明理由.(3)若点 P 为对称轴 CD 上的点,在抛物线 L2 上是否存在动点 Q,使以 A、O、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,若存在,直接写出点 Q 的坐标,如不存在,说明理由.( 用含 k 的代数式表示)【解析】(1)平移后的解析式 yx(x 4k);(2)四边形 OCAD 是菱形.设 CD 与 x 轴交于点 M,根据对称性可得 MOMA ,可得顶点 C(2k,4k 2),点 D 的坐标为(2k, 4k2),可知 MDMC,四边形 OCAD 是平行四边形,又因为 CD 垂直于 OA,所以四边形 OCAD 是菱形.四边形 OCAD 的形状可以成为正方形,理由如下:四边形 OCAD 是菱形,当 OACD 时,四边形 OCAD 的形状是正方形,即 8k24k,解得 k0(不合题意,舍去 ),k ;12(3)存在点 Q 的坐标为 (6k,12k 2)、(2k,12k 2)、(2k ,4k 2).2.如图 1,抛物线 ymx 211mx24m(m0) 与 x 轴交于 B、C 两点(点 B 在点 C 的左侧).(1)写出与抛物线有关的三个结论;(2)在OAC 中,OAAC,且BAC90,抛物线经过点 A,求此时抛物线的解析式;(3)如图 2,在(2)的条件下,点 M 始终位于抛物线上 A、C 两点之间, 过点 M 作垂直于 x 轴的直线 l:xn,连接 AM、MC,试探究:是否存在实数 n,使AMC 的面积最大,如存在,求出最大值,如不存在,说明理由.【解析】(1)因为抛物线 ymx 211mx24m(m 0)与 x 轴交于 B、C 两点,所以抛物线与 x 轴的交点坐标为:0mx 211mx 24m,解得:x 13,x 28,所以B(3,0) ,C(8,0),开口向下,对称轴是直线 x5.5,顶点坐标(5.5, m);254(2)过 A 作 AEOC 于点 E,因为 OAAC,所以 OEEC 84,所以 BE431,又因为BAC 90 ,12所以ACEBAE,所以 ,AEBE CEAE所以 AE2BECE14,所以 AE2,所以点 A 的坐标为(4,2),把点 A 的坐标(4,2) 代入抛物线 ymx 211mx24m,得m ,12所以抛物线的解析式为 y x2 x12; 12 112(3)存在实数 n,使AMC 的面积最大,理由如下:因为直线 xn 与抛物线交于点 M,所以点 M 的坐标为(n, n2 n12) ,12 112由题意可知: A(4,2),C(8,0) ,由待定系数法可求得直线 AC 的解析式为y x4,设直线 l:xn 与 CA 交于点 N,得 N(n, n4) ,12 12所以 MN n2 n12( n4) n26n16,12 112 12 12所以AMC 的面积MN 3 ( n26n16) (n6) 23,12 32 12 34即当 n6 时, AMC 的面积最大,最大面积是 3.3.如图,直线 y2x2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,把AOB 沿 y 轴翻折,点A 落到点 C,过点 B 的抛物线 yx 2bxc 与直线 BC 交于点 D(3,4).(1)求直线 BD 和抛物线的解析式;(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点 M,作 MN 垂直于 x 轴,垂足为点 N,使得以 M,O,N 为顶点的三角形与BOC 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)y2x2,当 x0 时,y2,B(0,2).当 y0 时,x1,A( 1,0).抛物线 yx 2bxc 过点 B(0,2),D(3,4) , 解得2 c, 4 9 3b c, ) b 1,c 2, )yx 2x2.设直线 BD 的解析式为 ykxb,由题意,得解得:b 2, 4 3k b, ) k 2,b 2, )直线 BD 的解析式为:y2x2;(2)存在.如答图 1,设 M(a,a 2a2).MN 垂直于 x 轴,MNa 2a2,ONa.y2x2,y0 时,x1,C(1,0),OC1.B(0,2),OB2.当BOCMNO 时, , 即 ,BOMN OCON 2 a2 a 2 1a解得:a 11, a22(舍去),M(1,2).如答图 2,当BOCONM 时, ,BOON OCMN即 ,2a 1 a2 a 2a 或 (舍去) ,1 334 1 334M( , ).1 334 1 338符合条件的点 M 的坐标为(1,2) ,( , ).1 334 1 3384.(2016原创)已知,如图,抛物线:y 1(x1) 21、 y2(x2)22、y 3(x3) 23、y n(xn) 2n(n 为正整数 )称为“系列抛物线” ,分别与 x 轴交于点 O,A、B,C、E,F、.(1)AO2,y n(xn) 2n 与 x 轴交点之间的距离是 2 ;n(2)是否存在正整数 n,使得以 yn(x n) 2n 的顶点及该抛物线与 x 轴两交点为顶点的三角形是等边三角形,若存在,求出正整数 n,若不存在,说明理由;(3)以抛物线 yn(xn) 2n 的顶点 P 为一个顶点作该二次函数图象的内接等边三角形 PMN(M,N 两点在该二次函数的图象上 ),请问:PMN 的面积是否会随着 n 的变化而变化?若不会,请求出这个等边三角形的面积;若会,请说明理由.【解析】(1)抛物线 y1(x 1) 21 与 x 轴相交,令 y0 得到两交点的横坐标为 0和 2,故 AO 的距离为 2,y n(xn) 2n 与 x 轴两交点坐标为( n,0)和( n,0) ,n n所以 yn(xn) 2n 与 x 轴交点之间的距离是 2 ;n(2)存在,n3.理由:如答图 1,设 yn(xn) 2n 的顶点 G(n,n) ,抛物线与 x 轴两交点坐标为 F( n, 0)和 E( n,0) , EF2 ,过点 G 作 GK 垂直 x 轴于点 K,得n n nEK ,GKn, 因为 yn(xn) 2n 的顶点及该抛物线与 x 轴两交点为顶点的三角n形是等边三角形,所以得 n ,解得 n13,n 20(不合题意,舍去)3 n(3)PMN 的面积不会随着 n 的变化而变化.理由如下:如答图 2,根据抛物线和等边三角形的对称性,可知 MNy 轴,设抛物线的对称轴与 MN 交于点 H,则 PH HM,设 M(m,(mn) 2n),3HMnm(mn),又 PHy Py Hn (mn) 2n(mn) 2,(nm) 2 (nm) ,nm ,HM ,PH 3,3 3 3S PMN PH2HM 32 3 ,12 12 3 3PMN 的面积不会随着 n 的变化而变化.5.我们给出如下定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线.如图,抛物线 F2 都是抛物线 F1 的过顶抛物线,设 F1 的顶点为 A,F 2 的对称轴分别交 F1、F 2 于点 D、B,点C 是点 A 关于直线 BD 的对称点.(1)如图 1,如果抛物线 yx 2 的过顶抛物线为 yax 2bx,C(2,0).那么:a1,b2;如果顺次连接 A、B、C、 D 四点,那么四边形 ABCD 为(D)A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形(2)如图 2,抛物线 yax 2c 的过顶抛物线为 F2,B(2,c1).求四边形 ABCD 的面积;(3)如果抛物线 y x2 x 的过顶抛物线是 F2,四边形 ABCD 的面积为 2 ,请直13 23 73 3接写出点 B 的坐标.【解析】(1)由 A、C 点关于对称轴对称,得对称轴 x1.将 C 点坐标代入解析式,及对称轴公式,得 b2a 1,4a 2b 0, )解得 a 1,b 2, )当 x1 时,yx 2,D(1, 1),yx 22x1,B(1,1),四边形 ABCD 的对角线相等,且互相垂直平分,四边形 ABCD 是正方形;(2)B(2,c1),AC224.当 x0,yc,A(0,c).F 1yax 2c ,B(2,c 1).设 F2ya(x2) 2c 1,点 A(0,c)在 F2 上,4ac1c ,a .当 x2 时,yax 2c4a c,D(2,4ac) ,BD(4ac)14(c1)2.S 四边形 ABCD ACBD4 ;12(3)如答图所示:y x2 x (x1) 22.13 23 73 13设 F2 的解析式 y (x1a) 22b,13B(1a,2b),C(2a1,2),D(1 a , a22).13B 点在 A 点的右侧时, AC1a1 ,BD a22 2b2,12 3 13解得 a ,b 1;3B1(1 ,1),B 点在 A 点的左侧时, AC1(a1) ,BD a222b2,312 3 13解得 a ,3b1,B 2(1 ,1),3综上所述:B 1(1 ,1),B 2(1 ,1).3 3
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