资源预览内容
第1页 / 共32页
第2页 / 共32页
第3页 / 共32页
第4页 / 共32页
第5页 / 共32页
第6页 / 共32页
第7页 / 共32页
第8页 / 共32页
第9页 / 共32页
第10页 / 共32页
亲,该文档总共32页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第八章量子力学中的近似方法2第八章 目 录8.1 定态微扰论 .2(1)非简并能级的微扰论 .2(2)碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应 .11(3)简并能级的微扰论 .15(4) 简并态可用非简并微扰 处理的条件 .253第八章 量子力学中的近似方法(一)在量子力学中,能精确求解的问题为数是有限的,要么非常特殊,要么非常简单。我们在这章中,介绍一些常用的近似处理方法。也就是说,当将量子力学原理用于实际问题中,我们必须进行一些近似处理,才能得到所要的结果,才能将问题解决。8.1 定态微扰论本节讨论的是 与 无关Ht设: ,要求其本征值和本征函数 )P,r( EH一般没有解析解,为解决这问题,我们将 表示为10其中 很接近 ,且有解析解。而 是小量,为易于表其大小的量级,无妨令0H 10H)()( (1)非简并能级的微扰论设: 的本征值和本征函数为 ,0 0kE0kH构成一正交,归一完备组。0k现求解 kE即 k10)H(求 , 的步骤是通过逐级逼近来求精确解,即将 , 对 展开。由于涉及 的项kE kE较小,因此, 应接近 , 接近 。所以,可以从 , 出发求 , 。当 ,0k0k0k0即 , ,0H1kE4非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的(或即使有简并,但相应的简并态并不影响处理的结果) 。我们可将 )(N2(k)1(0kL)aa 2(iki0)(ii0求和号上的撇表示求和不包括 态,即 是与 正交的。k)i(L210kEE其中 为归一化常数,它随准确到那一级而定。代入上式得N)(H( 2(k)1(0k10)E2(k1(0LL于是有00k01 0k1)(ii01)(ii EaHa 2 0k2)1(ii)2(iik)(ii0)2(iki0 aH A. 一级微扰近似。 0k1)(ii0k01)(iki0 Eaa 以 标积k0k10k1*1HrdE以 ( )标积0i)1(ik010i)1(ikaEa0ik10ik1i)1(i )H(a因此,在一级近似下 0k10k10k)(E50ik1i0k)1(0kE)H(归一化 准至一级 )N所以,在 这条能级为非简并时,其能量的一级修正恰等于微扰 在无0kE 1H微扰状态 的平均值。例 1:考虑一个粒子在位势axam2)x(Vaxa21PHx022xm1Pax)a(2H21nE1a2n2dxu)(m1准至一级修正的能量为 a2n2n )(2)(ha微扰论的应用限度:如 准到一级,可以看出, 完全是分立能级. 但事实上,当 时,粒子EnE2am1E是自由的,因此是连续的,可取任何值。而要其比较精确,必须 2nam1即 )2(hb经典力学和量子力学的差别:经典粒子不能运动到 之外区域,而量子力2mEx6学中,粒子有一定几率在 区域中。2mEx事实上,由于 ,由 定理可证得)(V1FHh2nEn例 2已知一个 在核( )库仑场中运动zer42PH00nlml相应能量为 20na8zeEh2ze当原子核发生 衰变后,该 在 的库仑场中运动,这时 的哈密顿量为)1(r4e)1z(2PH02试用微扰论求衰变后 原子的能级r4e02一级微扰论的能量修正 k1)H(E即 nlmr4elE02)1(nlmlrzl02nEz1)a4e(207( )20na4ze20eah于是 202020nlmna8)z(na4za8ezE事实上,这问题是可以精确求解的 20nlna8e)1z(精 确近似解与精确解的差 20na8eE由此可见: 越大,微扰的精确性越大,到一级就很精确,所以低级近似就可以达到较Z精确的程度;应该指出,现在处理的问题中,能级实际上是简并的(简并度为 ) 。但仍2n用了非简并微扰论来处理,这是因为微扰作用的矩阵元 nml02Anlr4emln也就是说,对于 态,由于 微扰的影响仅来自 ,而 , 的态根本不lr02llm起作用,因而态 (无论 是否等于 ,只要 , )这些态都形同虚设,那lnnl也是形同虚设。在这时,微扰可用非简并微扰处理。所以,所谓可用非简并微扰论处mln理的问题,是指我们要处理的态(现为 )所在能级的其他态(现为 , ,nlmmlnl)在微扰中的任何一级都不起作用,即 (若 , ) 0nlrel2 l例 3求氦原子的哈密顿量 121221rere)(H h设: 21211 )cosrr(e 8024e1H设 的基态为0即 021021z )r(ur,s)r(a321ea4a2E000于是 H10 2121)r(a232 )cosrdsinerd)a(1 以 方向为 z 方向1r210ll22ll121r)r(cosPrr20ll121r0aa12310 drcos)r(csPrerd)a(eE1 rs)r(osr 2l20l2ra1 由ll0l cosd)(P)(cos 1)(cosP0dr2edr2erdae2E11 rar0aa21610 9)2ar(e)1e(r2aearerda2 1r1321216 r)r2(r8 a3a413162 )83264(ae8552准至一级的能量 022100 4a8e1e5aE0)r(321B二级微扰:当微扰较大时,或一级微扰为零时,则二级微扰就变得重要了,由 项得20k2i)1(i0ki)2(i0ki)1(i0i)2(ik0 EaaEaHa 以 进行标积得k i0ik21i0ik1)1(ik0ik2 EHE)(aE)(H以 进行标积得0j()1(jk)2(j0k)1(i0ij)2jk aEaaE)2(jk0a( 0jk1j01k0ik1i01ij EHH E)()(E0jki0ik1j0jk)2(j准至二级的能量和波函数100ik21i10kE)H()(E)1(k)1(k0kHi0ikiENE)H()(E 0jk1i0ik1jj0jk 由 2ki0ikik* N)(1rdki20i12)E(HN准至二级的归一化波函数为 i0ik1i0k2i0k1k E)H()E(2 )( 0jki0ik1jj0jk显然,要使近似解逼近真实解,就要恰当选取 , 而且要求 ,这样0H11E)H(0ik取一级近似才可以满足精度要求。由微扰的能量二级修正公式可以看出,对于基态 ,即 。所以,二级微扰0ikE0ik是负的,使能级下降。例:刚体转子的斯塔克效应(Stark effect)将体系置于外电场中,能级发生移动的现象称为 Stark effect。设:转子的角动量为 ,电偶极矩为 ,当置于均匀外电场中Ld(取电场方向为 z)cos2H21011显然 (有 重简并)lm2lm0l Y)1(EYHh1l由于 cosd1而 hiLz0H,1z因此, 运算到 的本征态上,不改变其本征值1Llm1lz1lmz YYh所以, 也是 的本征态,本征值仍为 。l1H由递推关系 m1ll1lml a),(cos 而 )3l2(1al m1ll1lml*ml )a(dYcos 因此尽管每一条能级 有 重简并。但是,对某一态 有相互作2)E0lhlmY用的是那些同 ,但不同 的能级。所以,如考虑未微扰的能级态为 ,则只需要在所l有不同 ,但同 的状态 中来考虑。这样尽管能级是简并的,而就一个态而言,可看lmlY作“没有简并”的态,其他的态对它没有任何影响(在微扰下) ,从而可用非简并微扰论来处理。 0dcosdEl*l1l ml0l212E)H(12 l 1l21l22 )()(lm3l)1(d h)3l2(1mE20l)3l2(1l)d(20lllm由这可看出,简并部分解除(同 不同 的能量不同,但 相同) 和 态仍简mmlm并,即 重简并 条( 不简并,而其他的为二重简并) 。1l21l0简并的解除,实际上是 的对称性被破坏。如没有完全解除,那实际上对称性没有完全被H破坏。(2)碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应在介绍简并微扰论前,我们应用非简并微扰论,讨论碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应。A碱金属光谱的双线结构前面已定性给出,由于自旋轨道耦合,导致能级分裂 ,现用微扰论来处21llE理。碱金属原子有一个价电子,它受到来自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场 的作)r(V用,价电子的哈密顿量为 sl)r(V2PH( )dr1c)r(2EH取 , )r(V2P0sl)r(H1(若 有解析解)13选力学量完全集 )J,LH(z20则 jjnlmnl0E能量 与 无关。lJjjlnlRnl0ll22 RE)r(Vr)1(rd1hh所以 的本征值及径向 是与 无关。0HRj即 , nlRlE的 本 征 态是 是注 意 现 在 的 0ljmnlj(对 和 是简并的)jjm一级微扰 jj1nlj nls)r(E)1s()l(1(2dR2l h对1ljl)s()l(j(211一级微扰修正与 有关jnlE1nlj21lj21h前面已讨论过 0dr)(rRlnl因此, 21lj,21lj,nE这就能观测到的钠光谱的双线结构。B反常塞曼效应:在较强磁场中( ),原子光谱线分裂的现象(一般分为三条) ,T014称为正常塞曼效应。即使考虑自旋(而自旋轨道耦合和 项可忽) ,也同样2B( ) 。0ms当磁场较弱时 , 与 引起的附加能量可比较时,就不能忽略自T1sL)r(z2q旋轨道相互作用项而仅考虑 项。zB这时,哈密顿量(在均匀外磁场下)B2esL)r(V)AeP(21H2h取 方向为 方向, ,则Bz)0,x1yB1s2(es)r(2 z(忽略 )z0s2BJeH r8B这时 (简并度为 ,即对 简并)jnljjmEl1j2jm选 )J,L,(z20是磁场为 0 时的能量本征方程的本征值。0nljE当置入弱磁场(均匀,取 方向) ,而引起能级移动,在一级微扰下 jzj1nljmnlms2eBJld2ejjlljh
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号