1角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示，定义力 对 O 点的力矩为： FvFrMv大小为： sinr力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于 1800的角度转向力的方向时，拇指指向的方向就是力矩的方向。二、力对转轴的力矩：力对 O 点的力矩在通过 O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。1）力与轴平行，则 ；0Mv2）刚体所受的外力 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之F间的距离 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积，称为力d对转轴的力矩，用 表示。力矩的大小为： Fv FdM或： sinr其中 是 与 的夹角。vr3）若力 不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个力，一个与转轴平行的分力 ，一个在垂直与转轴平面内的分力 ，只有1F2v分力 才对刚体的转动状态有影响。2F对于定轴转动，力矩 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴Mv方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向。三、合力矩对于每个分力的力矩之和。合力 iF合外力矩 iii MFrrvvv即 i四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。在研究力对质点作用时，考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时，引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。下面将从力矩对时间的累积作用，引入的角动量的概念，讨论质点和刚体的角动量和角动量守恒定律。1质点的角动量（Angular Momentum ）描述转动特征的物理量1）概念一质量为 m 的质点，以速度 运动，相对于坐标原点 O 的位置矢v2量为 ，定义质点对坐标原点 O 的角动量为该质点的位置矢量与动量的矢量积，即rvvmrPL角动量是矢量，大小为L=rmvsin式中 为质点动量与质点位置矢量的夹角。角动量的方向可以用右手螺旋法则来确定。角动量的单位： kg.m 2.s-12）说明：（1）大到天体，小到基本粒子，都具有转动的特征。但从 18世纪定义角动量，直到 20 世纪人们才开始认识到角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。例如，电子绕核运动，具有轨道角动量，电子本身还有自旋运动，具有自旋角动量等等。原子、分子和原子核系统的基本性质之一，是它们的角动量仅具有一定的不连续的量值。这叫做角动量的量子化。因此，在这种系统的性质的描述中，角动量起着主要的作用。（2）角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。对于不同的参考点，同一质点有不同的位置矢量，因而角动量也不相同。因此在说明一个质点的角动量时，必须指明是相对于哪一个参考点而言的。（3）角动量的定义式 与力矩的定义式 形vmrPLvFrMv式相同，故角动量有时也称为动量矩动量对转轴的矩。（4）若质点作圆周运动， ，且在同一平面内，则角动量的大小为 L=mrv=mr2，写成矢量形式为 2（5）质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量 变化，但是质点的角动量 保持不变。rLL=rmvsin=mvd2质点的角动量定理（Theorem of Angular Momentum）（1）质点的转动定律问题：讨论质点在力矩的作用下，其角动量如何变化。设质点的质量为 m，在合力 的作用下，运动方程为FvtaFdv用位置矢量 叉乘上式，得rt考虑到 vmtrtrvmt dd和 0r得 vtF由力矩 rMv和角动量的定义式 mrtLd得 t3表述：作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率，有些书将其称为质点的转动定律（或角动量定理的微分形式） 。这与牛顿第二定律 在形式上是相似的，其中 M 对应着 F， L 对应着 P。tPF/v（2）冲量矩和质点的角动量定理把上式改写为 LtM为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得dtv1221tv式中 和 分别为质点在时刻 t1和 t2的角动量， 为质点在时间间隔 t2- t1内所受的冲L2 21ttMv量矩。质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。成立条件：惯性系3质点的角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum ）若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，则 恒 矢 量 vmrL这就是角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。说明：(1)质点的角动量守恒定律的条件是 M=0，这可能有两种情况： 合力为零； 合力不为零，但合外力矩为零。例如：质点作匀速圆周运动就是这种情况。质点作匀速圆周运动时，作用于质点的合力是指向圆心的所谓有心力，故其力矩为零，所以质点作匀速圆周运动时，它对圆心的角动量是守恒的。不仅如此，只要作用于质点的力是有心力，有心力对力心的力矩总是零，所以，在有心力作用下质点对力心的角动量都是守恒的。太阳系中行星的轨道为椭圆，太阳位于两焦点之一，太阳作用于行星的引力是指向太阳的有心力，因此如以太阳为参考点 O，则行星的角动量是守恒的。特例：（1）在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的；（2）匀速直线运动。（2）角动量守恒定律是物理学的另一基本规律。在研究天体运动和微观粒子运动时，角动量守恒定律都起着重要作用。典型例题1、如图所示，一静止的均匀细棒，长为 L、质量为 M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 O 在水平面内转动，转动惯量为 ML2/3一质量为 m、速率为 v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 v/2，则此时棒的角速度应为 (A) MLmv (B) L23v (C) L35 (D) 47 解：角动量守恒 v2231, , 选（D）2在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量 m=1kg 的滑块，如图所示。弹簧自然长度 l0=0.2m，倔强系数 k=100Nm-1。设 t=0 时，弹簧长度为 0l，滑块速度 v0=5ms-1，方向与弹簧垂直。在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度 l=0.5m。求该时刻滑块速度 r的大小和方向。O v21 俯 视 图 4解： sin0llmv解得 02020 3,/4)(smkl3假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒 (B) 角动量守恒，动能不守恒 (C) 角动量不守恒，动能守恒 (D) 角动量不守恒，动量也不守恒 提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力” ，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。4若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩_（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是_ 提示：反例如：合力为 0，但合力矩不为 0，此时动量一定守恒。5一根长为 l 的细绳的一端固定于光滑水平面上的 O 点，另一端系一质量为 m 的小球，开始时绳子是松弛的，小球与 O 点的距离为 h使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小球初始位置与 O 点的连线当小球与 O 点的距离达到 l 时，绳子绷紧从而使小球沿一个以 O 点为圆心的圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能 EK 与初动能 EK0 的比值 EK / EK0 = _ 提示：小球运动过程角动量守恒： 0mvh vl2hl6如图所示，在中间有一小孔 O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量 m = 4 kg 的小块物体绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住开始时物体以半径 R0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是 4 m/s现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径而绳最多只能承受 600 N 的拉力求绳刚被拉断时，物体的转动半径 R 等于多少？ 提示：N、G 合力矩为 0，T 为有心力，故物体角动量守恒：0mvR 又有拉力提供向心力：2vTR联立可解7在光滑的水平面上，有一根原长 l0 = 0.6 m、劲度系数 k = 8 N/m 的弹性绳，绳的一端系着一个质量 m = 0.2 kg 的小球 B，另一端固定在水平面上的 A 点最初弹性绳是松弛的，小球 B 的位置及速度0v如图所示在以后的运动中当小球 B 的速率为 v 时，它与 A 点的距离最大，且弹性绳长 l = 0.8 m，求此时的速率 v 及初速率 v0 提示：小球受 G、N、T，前两项力矩之和为 0，后者为有心力。故小球角动量守恒：0sin3dml 又滑动过程中只有 T 作功，故小球与弹性绳机械能守恒：2220011()vKl联立可解。O 22121021 )(kmvA Bd0.4 m30v