1第 3 章 平面与空间直线 3.1 平面的方程1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：（1）通过点 和点 且平行于矢量 的平面（2）通过点)1,3(M)0,1(2 ,01和 且垂直于 坐标面的平面；),5(2xoy（3）已知四点 ， ， 。求通过直线 AB 且平行于直线),(A),6(B)4,5(C)6,(DCD 的平面，并求通过直线 AB 且与 平面垂直的平面。A解： （1） ，又矢量 平行于所求平面，Q1,221M2,01故所求的平面方程为：vuzyx213一般方程为： 0734zx（2）由于平面垂直于 面，所以它平行于 轴，即 与所求的平面平行，又oyz1,0，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：,71Mvuzyx3152一般方程为： ，即 。0)(2)(7yx 0172yx（3） （）设平面 通过直线 AB，且平行于直线 CD：，1,54AB,CD从而 的参数方程为： vuzyx23一般方程为： 。0745910zx（）设平面 通过直线 AB，且垂直于 所在的平面 ABC， 1,AB 1,4,1,0,542均与 平行，所以 的参数式方程为：vuzyx3514一般方程为： .022x2.化一般方程为截距式与参数式：.4:zyx解： 与三个坐标轴的交点为： ，)4,0(,2()0,(所以，它的截距式方程为： .14zyx又与所给平面方程平行的矢量为： ，,所求平面的参数式方程为：vzuyx243.证明矢量 平行与平面 的充要条件为：,ZYX0DCzByAx.0CBA证明： 不妨设 ，则平面 的参数式方程为：DzyxvzuvACB故其方位矢量为： ，1,0,从而 平行于平面 的充要条件为：vDCzByAx， 共面1,0,301ACBZYX.ZYA4.已知：连接两点 的线段平行于平面 ，求 里),20(),5,3(zB0147zyxB的坐标 .z解： Q,而 平行于AB0147zyx由题 3 知： )5(2)(从而 .18z 3.2 平面与点的相关位置1.计算下列点和平面间的离差和距离：（1） ， ；)3,42(M:032zyx（2） ， .45解： 将 的方程法式化，得：，0132zyx故离差为： ，314)()( M到 的距离.d（2）类似（1） ，可求得，0354356)( 到 的距离M.)(d2.求下列各点的坐标：（1）在 轴上且到平面 的距离等于 4 个单位的点；y022zy4（2）在 轴上且到点 与到平面 距离相等的点；z)0,21(M09623zyx（3）在 x 轴上且到平面 和 距离相等的点。0156zyx 1解：（1）设要求的点为 则由题意),(0492y或 7.610y50即所求的点为（0，-5，0）及（ 0，7，0） 。（2）设所求的点为 则由题意知：),(z7962100z由此， 或-82/13。0z故，要求的点为 及 。)2,()138,0(（3）设所求的点为 ，由题意知：0x3250x由此解得： 或 11/43。20x所求点即（2，0，0）及（11/43 ，0，0） 。3.已知四面体的四个顶点为 ，计算从顶点 向底)4,1(),5,2()3,5()4,6( CBAS S面 ABC 所引的高。解：地面 ABC 的方程为： 02zyx所以，高 。3546h4.求中心在 且与平面 相切的球面方程。)2,3(C01zyx解：球面的半径为 C 到平面 ： 的距离，它为：35，1428146532R所以，要求的球面的方程为：.56)()5()3( 222zyx即： .01840622zyx3.3 两平面的相关位置1.判别下列各对直线的相关位置：（1） 与 ；0142zyx 032zyx（2） 与 ；51（3） 与 。6zyx 969zyx解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合） ；Q)(:241)(:（2） ， （2）中两平面相交；3（3） ， （3）中两平面平行（不重合） 。)6(:9)(:62.分别在下列条件下确定 的值：nml,（1）使 和 表08)3()1()3( zyxl 016)3()9()3( zlynxm示同一平面；（2）使 与 表示二平行平面；05z26ylx（3）使 与 表示二互相垂直的平面。13ylx07z解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 168391lnml即： 0927nll从而： ， ， 。97l13m（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6632ml所以： ， 。4l3（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 07l所以： 。1l3.求下列两平行平面间的距离：（1） ， ；021849zyx 04289zyx（2） ， 。763163解：（1）将所给的方程化为： 0281429zyx所以两平面间的距离为：2-1=1。（2）同（1）可求得两平行平面间的距离为 1+2=3。4.求下列个组平面成的角：（1） ， ；0yx83x（2） ， 。126z072zy解：（1）设 ： ， ：yx83x2),cos(21或 。4,213（2）设 ： ， ：1063zyx207zyx1837),cos(2或 。1812cos),(12 3.4 空间直线的方程71.求下列各直线的方程：（1）通过点 和点 的直线；)1,03(A)1,52(B（2）通过点 且平行于两相交平面 ：zyxMi0iiii DzCyx的直线；),1(i（3）通过点 且与 三轴分别成 的直线；)3,5(zyx, 12,456（4）通过点 且与两直线 和 垂直的直线；20M1zy01zyx（5）通过点 且与平面 垂直的直线。),( 03x解：（1）由本节（3.46）式，得所求的直线方程为： 52zy即： ，亦即 。0153zyx 013x（2）欲求直线的方向矢量为： 212121,BACB所以，直线方程为： 。210210210zyx（3）欲求的直线的方向矢量为： ， 21,0cos,45,60cos故直线方程为： 。13251zyx（）欲求直线的方向矢量为： ，2,10, 所以，直线方程为：。21zyx（）欲求的直线的方向矢量为： ，5,36所以直线方程为：。2zyx8.求以下各点的坐标：（）在直线 上与原点相距个单位的点；3812zyx（）关于直线 与点 对称的点。024z)1,(P解：（）设所求的点为 ，则：),(yxMtzt3821又 225zyx即： ，25)()8()1(ttt解得： 或476所以要求的点的坐标为： 。)7130,6(),201,9(（）已知直线的方向矢量为： ，或为 ，,241,2过 垂直与已知直线的平面为： ，P 0)1()(zyx即 ，032zyx该平面与已知直线的交点为 ，所以若令 为 P 的对称点，则：)3,1(),(zyx， ，2x021，7,0zyx即 。)7,2(P.求下列各平面的方程：（）通过点 ，且又通过直线 的平面；)1,0(p 3212zyx（）通过直线 且与直线532zyx052zyx平行的平面；9（）通过直线 且与平面 垂直的平面；2321zyx 0523zyx（）通过直线 向三坐标面所引的三个射影平面。04985z解：（）因为所求的平面过点 和 ，且它平行于矢量 ，所以)1,2(p)2,0( 3,12要求的平面方程为： 302zyx即 。15zyx（）已知直线的方向矢量为 ，5,31,21,平面方程为：05312zyx即 0521zyx（）要求平面的法矢量为 ，13,8,2,平面的方程为： ，0)(13)(8)1(zyx即 。0938zyx（4）由已知方程 014295zyx分别消去 ， ， 得到：， ，3167x0641yx此即为三个射影平面的方程。4.化下列直线的一般方程为射影式方程与标准方程，并求出直线的方向余弦：（1） （2）03231zyx 064zyx（3）10解：（1）直线的方向数为： )5(:132:31: 射影式方程为： ，59123zyx即 ，59123zyx标准方程为： ，zyx13方向余弦为： ， ，35cos351cosm。51cs（2）已知直线的方向数为： ，)4(:3201:40射影式方程为： ，41832zyx即2946zyx标准方程为： ，zyx431方向余弦为： ， ，14cosm413cosm11。41cos（3）已知直线的方向数为： ，1:0)(:10:0: 射影式方程为： ，2zyx标准式方程为： ，10方向余弦为： ， ， 。cos2cs21cos 3.5 直线与平面的相关位置1.判别下列直线与平面的相关位置：（1） 与 ；3742zyx32zyx（2） 与 ；387（3） 与 ；0155zyx 074zyx（4） 与 。492tzt 173z解：（1） ，Q0)2(3)()(而 ， ，17023所以，直线与平面平行。（2） )(所以，直线与平面相交，且因为 ，723直线与平面垂直。（3）直线的方向矢量为： ，1,95,5，Q017935412而点 在直线上，又 ，)0,52(M07)5(3)2(4所以，直线在平面上。（4）直线的方向矢量为 ，9,1Q07)2(13直线与平面相交。2.试验证直线 ： 与平面 ： 相交，并求出它的交点l211zyx032zyx和交角。解： Q03)(2直线与平面相交。又直线的坐标式参数方程为： tzytx21设交点处对应的参数为 ，0t03)()1()20t，从而交点为（1，0，-1） 。又设直线 与平面 的交角为 ，则：l，2161)(2sin。3.确定 的值，使：ml,（1）直线 与平面 平行；1324zyx0153zylx（2）直线 与平面 垂直。5tzt 76ml解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须： 01534l即 。l13（2）欲使所给直线与平面垂直，则须： 3642ml所以： 。8,4ml4.决定直线 和平面 的相02211zCyBxA 0)()()( 212121 zCyBxA互位置。解：在直线上任取 ，有：),(11M01212zCyBxA)()()(121xA这表明 在平面上，所以已给的直线处在已给的平面上。M3.6 空间直线的相关位置1.直线方程 的系数满足什么条件才能使：02211DzCyBxA（1）直线与 轴相交； （2）直