矩 阵 论 电 子 教 程,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,Department of Mathematics,内 积 空 间,第 二 章,教 学 内 容 和 基 本 要 求,1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.,3. 理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，,2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定 方法.,4. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质,重点: 内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系难点: 正交变换的判定方法,定义： 设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，如果对任意的 都有,则称 是 的一个酉变换。,1.酉变换的定义,一, 酉变换与正交变换,定理1：酉（正交）变换是线性变换定理2：设 是一个 维酉（正交）空间， 是 的一个 线性变换，那么下列陈述等价：（1） 是酉（正交）变换； (2)（3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；（4）酉（正交）变换在标准正交基下的矩阵表示为 酉（正交）矩阵。推论：设 为 阶酉（正交）矩阵，则 为 上的酉（正交）变换,二. 正交投影,性质1 正交投影是线性变换,性质2 设 是酉（欧氏）空间 到 的正交 投影，则：,定理1：设 是酉（欧氏）空间 到 的正交投影， 是 的标准正交基，则： 是 的标准正交基。,定理2： 阶矩阵 为酉空间 正交投影的充分必要条件是：,Good,Bye,