安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 1 页 共 10 页一类具有反馈控制的捕食模型的渐近性作者：倪德源 摘要 本文研究了两类具有反馈控制和两类功能性反应的三种群非自治捕食系统利用比较原理给出了系统一致持久性的充分条件；当系统是周期系统时，应用Brouwer不动点原理和构造Lyapunov函数方法给出其存在惟一且全局吸引的 周期正解的充分条件.并举实例验证.关键词 反馈控制 群生物模型 全局渐近性 周期解1 引言 数学生态学模型具有非常深刻的实际背景，历来受到学术界的重视，现已有了大量工作.基于人与自然的协调发展和生态资源的可持续发展，带有反馈控制的数学生态学模型更具有深远意义，反馈控制已被越来越多的学者所关注.近年来，扩散对种群持续生存的影响已有不少，人们通过扩散可以挽救绝灭的种群, 从而使其保持持续生存.本文主要考虑了两个模型.一个是具有反馈控制及两类功能性反应的三种群捕食系统的持久性，即本文的系统（1）.另一个是具有反馈控制的三种群捕食系统的持续性和周期解，即本文的系统（2）.考虑下面的生物系统（1）： 1 12113123222 213 331332()() ()(),() (),()()dxatxrtttdtut axtttdxxrtat dut t12122333 ,()(),(),()(). tueqdhtutxtueqt其中 , , 是三个控制变量, , , 分别表示捕食种群 ,1()23t1()xt23()xt1()Xt, 在时刻 的密度.为方便起见，对于连续有界函数 ，引入记号:2Xt3 f， .inf():0ltsup()0mft令 66123123(),(),(),()()(),()1,23).iitxttutRxttuti考虑到系统（1）的生态意义，以下总在 中考虑.本文假定系统（1）的初始条件为：Int安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 2 页 共 10 页.00(),()iixtut定义1 若存在一紧集 使得系统（1）的每一个满足初始条件的解6,DInR.23123()(),(),()Xtxtttu最终进入并且停留在 中,则系统（1）是一致持久的.2 系统的一致持久性我们假设系统（1）满足如下条件：1 1231320;0.lllmlhaebaerq2 121312321321231.lllmlllllmlr abearq3 2()lllllllmllaeadqdb.231212mllllr4 13312313132()()lllmllllmlmleereaaqa2312112).lllllmlaadrq其中： 212112312312, .mlllmlllldhrebarra引理1 是系统（1）的正3(),(),()()0,()TiiRxttutxtut不变集.令： 123123(),(),(),(),(),2,3TlmlmiiiiiKttttt其中： 1123121122321212131323123, ,lmmml lllll lmlll mllmllmlrduaxrx axduarxaxdurrxa 331 1122,.lml lml l lml lqxqhqhuuueeee定理1 假设系统（1）满足下列条件：1,2,3,4. 则 是系统（1）的正不变集.K定理2 假设系统（1）满足定理1的四个条件，则 是系统（1）的最终有界域，从而系安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 3 页 共 10 页统（1）是持久生存的.证明 设 是系统（1）的任一解.若123123(),(),(),()xttxtut；则一定存在 ，使得 ；否则，对所有的 ，恒有 ，1(0)mx0T1mT0t1()mxt那么一定存在正数 ，从系统（1）的第一个方程，有：111111()()()(),ml ml ldxtraxttraxaxt从而有 ，这与当 时 矛盾.10ep0lt0mt若 ，则一定存在 ，使得 ；否则，对一切 ，恒有3()mx21T323()xT0t，那么一定存在正数 ，则系统（1）的第三个方程变为：t 3 323313223()()() ()mll lllmlldxt araxtt xt从而有 ，这与 相矛盾.323()0exp0()lxtat3()mxt同理可证明存在 ,使得当 时 ,存在 使得当 ,存3T2)mx2uT43,T2(0)mx在 时,使得当 ，存在 ,使得当 时.由定理1知,对一切的541(u653(0)mu有：6t123123123123(),(),(),(,).mmxtttxu类似于上面的方法，可证明存在 ，使得对一切的 ，有：*T*tT123123123123(),(),(),(,)lllxttutx令 当 时,总有：*6ma,T123123(),(),(),xttutK因此 是系统（1）的最终有界域，从而知系统（1）是一致持久的.K3 正周期解的全局渐进稳定性 定义2 设 ,则6123123(),(),(),()XtxttutR.123()xutt安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 4 页 共 10 页定义3 若系统（1）的所有系数均为时间 的具有正 周期的连续函数，则称系统t（1）为一个 周期系统.定义4 若对系统（1）的任意正解 既在123123(),(),(),()XtxttutLyapunov意义下稳定又对其他正解 有：Yyv31lim()()0,iiiitxtut则称系统（1）是全局渐进稳定的.定理3 若 周期系统（1）满足定理2中条件，则系统（1）至少存在一个严格正的周期解.定理4 若 周期系统（1）满足定理2中条件及下列条件（3） 1212133312,()lmmlmiiaxqaxed则系统（1）存在惟一全局渐进稳定的正 周期解.证明 设 是系统（1）的严格正的周期解，123123(),(),(),()Xtxttut是系统（1）的任一满足正初始条件的解.做123(),YtytvLyapunov函数.则 沿系统（1）解的上右导数为：31()ln()l()()iiiiiVtxtytut()Vt3 31 1()l()ln()ln()l()iiii iiiii iDtttvtDxtytuvt 22111 1lnl ()()() ()xtyt attatxyt221133111 () ()()()atttttdtuvtx 33333()()()utvetuvtqtxytL1221311212322)()lmmlmmaxaqxtyaaxqty333()()()()l ledutv安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 5 页 共 10 页2233()()()().lmlmedutvedutv令 121213212323123in, ,l l mlmmaxqaaqaxaxq 则有（2）31()()()iiiiiDVtxtyutv（2）式两端在 上积分得：,Tt21()()()(),tiiiiTixsyusvdsVTt因此 .从而有:31()()tiiiiTi Vtxtyutvd3 11()()(,).iiiiixtyutvLT根据定理2知 、 以及它们的导数在 上是有界的，进一步可()iixtyiitv,知 是一致连续的.故可得：31 ()iiiiitut.lm0,li()0ii iit txyuvt这就证明了系统（1）的周期正解是全局渐进稳定且惟一的.证毕.类似于系统（1）的情形,下面我们对这类基于比率的系统引入非自治的情形,即一类非自治的三种群捕食系统的持续性及周期解.系统（2）如下： 101 121112322 2221() ()()()()()dxt atxatxtdtuetHsutdmaxettttt302033230 ()()()() ()()()1,iiiiii sutdx estdxutttGsxtdi 其中 表示种群 的密度， 表示控制变量，记：()1,2)ixt (,23)iX(),2)iut， ， 均为正常数， nf:l Rsup:fftR,13ii安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 6 页 共 10 页均为非负连续函数并且满足(),(1,23)iiHsG令 假定系统（1）满00(,12,3.i idsdimax,(,23)ii足如下初始条件： (),(,0)(0,.iii isxCRut i则系统（2）在 上存在惟一解,且对于 有)t(,)0,(.123.iixtti4 持久生存引理2 若 ，并且当 时有 ，则有：0,()abxt0txba.0()()1tabe引理3 若 ，并且当 时有 ，则有0,()xt0tx0()01(.)btbteat定理5 若 是系统（2）满足条件的任意解，并且123123(),(),Txttu满足 则存在 ，当 时有 .2132,uluaadeNt(),()iiixtMutN其中： 3221 * * ()()* * *321121 () )(), , ,.ulul ul uuul aa iiiil laMMemm 证明 由系统（2）的解的正性可得 由比较原理，存在11()(),uldxtaxt，当 时 .由系统（2）的第二个方程得 因10T1t*1()xtM221(),uldtta此，当 时 从而当 时有：1t21()2,ulate1tT2121()2() ( ,ululadldadxt mextt tM由引理2，对上面的 ，同理可知 .再由系统（2）的第0*233),xtx安庆师范学院数学与计算科学学院 2012 届毕业论文第 7 页 共 10 页个方程得 再由引理1，存在3(1,2.)i()(),23).uliiiiidtMut，当 时 其中 为一些正常数.定理1证30TtT*() .iiii iilt Ni毕.定理6 若系统（2）除满足上述条件外，还满足：.23121212();()uul ul ul laadedeNmm 则系统（2）的解是持久的.证明 令 为系统（2）满足条件的任意解.由系统123123(),(),(),Txttt（2）的第一个方程可知 101 12111()()()()ulu udt aaxtdteHstdsm12111() (),ul uxtdNext利用比较原理可得： ，121*1 1limnf()ul udeft adNxt m因此，对充分大的 ，有 ，由系统（2）的第二个方程可得：t*11()t*12232 2211()( ()()lu uluaadxtt deNmxt*23 23122122212 *()()