1数列复习基本知识点及经典结论总结1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1,2，3，n ）的特殊函数，如果数列 的第 n 项 与 n 之间的关系可以用a一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如（1）已知，则在数列 的最大项为_（答： ） ；（2）数列 的通项为 ，其中*2()56naNna15n1ban均为正数，则 与 的大小关系为_（答： ） ；b,na1 na1（3）已知数列 中， ，且 是递增数列，求实数 的取值范围（答： ） ；（4）一给定函数2nn 3的图象在下列图中，并且对任意 ，由关系式 得到的数列 满足)(xfy ),0(1)(1nnafna，则该函数的图象是 （） （答：A）)*1NnanA B C D递推关系式：已知数列 的第一项（或前几项） ，且任何一项 与它的前一项 （前 n 项）间的关系可以用一个an an1式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的分类：按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前 n 项和： .asnn321已知 求 的方法（只有一种）：即利用公式 = 注意：一定不要忘记对 n 取值的aan)2(,11ns讨论！最后，还应检验当 n=1 的情况是否符合当 n 2 的关系式，从而决定能否将其合并。2.等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数an列，这个常数叫等差数列的公差。即 .(或 ).)2,*(1nNdn且 )*(1Nndan（1） 等差数列的判断方法：定义法： 为等差数列。常 数a 中项法： 为等差数列。 通项公式法： （a,b 为常数） 为等差数ann212n banan2列。前 n 项和公式法： （A,B 为常数） 为等差数列。BnAsn2an如设 是等差数列，求证：以 bn= 为通项公式的数列 为等差数列。naanL21*Nnb（2）等差数列的通项： 或 。公式变形为: . 其中 a=d, b= d.1()nad()nmdaa1如(1)等差数列 中， ， ，则通项 （答： ）；（2）首项为-24 的等差数n03205na10n列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答： ）83（3）等差数列的前 和： ， 。公式变形为： ，其中n1()2nnaS1()2nSadBnAsn2A=d，B= .注意：已知 n,d, 1, n, s中的三者可以求另两者，即所谓的“知1三求二”。如（1）数列 中， ， ，前 n 项和 ，则 ， （答：na*1(2,)nnN32na152nS1an， ）；（2）已知数列 的前 n 项和 ，求数列 的前 项和 （答：3a0na1S|T）.*2(6,)17nNTn（4）等差中项：若 成等差数列，则 A 叫做 与 的等差中项，且 。,aAbab2abA提醒：（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作n1dnnS1ad为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， （公差为 ） ；偶数个数成等差，可设2,adad为， ,（公差为 2 ）3,adad3.等差数列的性质：（1）当公差 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ；011()nadnand前 和 是关于 的二次函数且常数项为 0.n21 1()()ndSan（2）若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。0d（3）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当 时,则有n mnpq，特别地，当 时，则有 .如（1）等差数列 中，qpnmaa2mp2mnpana，则 _（答：27） ；（2）在等差数列 中， ，且1238,1nSSnn101,3， 是其前 项和，则 A、 都小于 0， 都大于 0B、 都小于 0，10|anS1210,SL12,SL1219,SL都大于 0C、 都小于 0， 都大于 0D、 都小于 0， 都大于2,L125, 67, 12, 2,S0（答：B）(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即 成等差.若 、 是等差数列，则),.(, *2Nmkaknab、 ( 、 是非零常数) 、 、 ，也成等差数列，而nkanpbkp*()pnq232,nnSS成等比数列；若 是等比数列，且 ，则 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25，前 2n 项和na0algn为 100，则它的前 3n 和为 。 （答：225）（5）在等差数列 中，当项数为偶数 时， ； ； .2n)(1ansnds奇偶 an1奇偶项数为奇数 时， ； ； 。 如（1）在等差数列中，S 1122，21nanns)1(21奇偶 奇偶则 _（答：2） ；（2）项数为奇数的等差数列 中，奇数项和为 80，偶数项和为 75，求此数列的中间项6a n与项数（答：5；31）.（6）单调性：设 d 为等差数列 的公差，则and0 是递增数列；d0 且满足 ,则 最小.1a1ansn“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前 项和的最n小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差0011nna或数列前 项是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 。上述两种方法是运n *nN4用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列 中， ，na125，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （答：前 13 项和最大，最大值为 169） ；（2）若 是等差数917S列，首项 ，0,a2304a，则使前 n 项和 成立的最大正整数 n 是 （答：4006）2034nS(9)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究 .nmab4.等比数列的有关概念：如果数列 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做an等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 （或)2,(*1nqNn )(*1Nanq（1）等比数列的判断方法：定义法 ，其中 或a为 常 数 ） 0,n1na。如（ 1）一个等比数列 共有 项，奇数项之积为 100，偶数项之积为 120，则 为_（答： ） ；(2)nn2 1n56（2）数列 中， =4 +1 ( )且 =1，若 ，求证：数列 是等比数列。nanS1a1annab21nb（2）等比数列的通项： 或 。如设等比数列 中， ， ，前 项nqm16a218nn和 126，求 和公比 . （答： ， 或 2）nS6（3）等比数列的前 和：当 时， ；当 时， 。如（1）等比数列中，n1q1nSaq1()nnaqSn2，S 99=77，求 （答：44）q963aL特别提醒：等比数列前 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前 项和时，首先要判断公比 是否为 1，再q由 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比 是否为 1 时，要对 分 和 两种情形讨论求解。qq1（4）等比中项：如果 a、G 、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，即 G= .提醒：不是任何两ab数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 。如已知两个正数 的等差中项为 A，等,()比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为 _（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前 项和公式中，涉及到 5 个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作n1aqnnS1aq为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为， （公比为 ） ；但偶数个数成等比时，不能设为2,aq5，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为 。如有四个数，其中前三个数33,aq 2q成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5.等比数列的性质：（1）对称性：若 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当 时，则有an mnpq，特别地，当 时，则有 .如（1）在等比数列 中，qpnma.2mp2.pnmana，公比 q 是整数，则 =_（答：512） ；（2）各项均为正数的等比数列 中，若38472,5110 na，则 （答：10） 。569a3132310logllogaaL(2) 若 是等比数列，则 、 、 成等比数列；若 成等比数列，则 、n|n*(,)pnqNnkanab、 nb成等比数列； 若 是等比数列，且公比 ，则数列 ，也是等比数列。当nbna1232,nnnSS，且 为偶数时，数列 ，是常数数列 0，它不是等比数列. 若 是等比数列，且1q232,nnnSS an各项均为正数，则 成等差数列。 如（1）已知 且 ，设数列 满足alog a1nx1logloganxx，且 ，则 . （答： ） ；（2）在等比数列(*)nN1210xxL10220xxL10中， 为其前 n 项和，若 ，则 的值为_（答：40）anS 4,33SS20S(3) 单调性：若 ，或 则 为递增数列；若 ,或 则1,aq1aqna10aq10,aq为递减数列；若 ，则 为摆动数列；若 ，则 为常数列.n0n1(4) 当 时， ，这里 ，但 ，这是等比数列前 项和公式1qbaqqSnn 10a,0abn的一个特征，据此很容易根据 ，判断数列 是否为等比数列。如若 是等比数列，且 ，则 nn n 3nSr（答：1）(5) .如设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，mnmnnmSqSnaqn12,n则 的值为_（答：2）q(6) 在等比数列 中，当项数为偶数 时， ；项数为奇数 时， .na2S偶 奇 211Saq奇 偶(7)如果数列 既成等差数列又成等比数列，那么数列 是非零常数数列，故常数数列 仅是此数列既成等nan差数列又成