资源预览内容
第1页 / 共8页
第2页 / 共8页
第3页 / 共8页
第4页 / 共8页
第5页 / 共8页
第6页 / 共8页
第7页 / 共8页
第8页 / 共8页
亲,该文档总共8页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
基本不等式1 内容提要(1) 如果 ,且 n1,那么 叫作这 n 个正数的算1,(0,)naK1naK术平均数, 叫作这 n 个正数的几何平均数。12na注:N 个数的算术平均数不小于几何平均数。(2) 若 a,b R,则 (当且仅当 a=b 时取等号) 。22b(3) 均值不等式:若 a,b 为正数,那么 (当且仅当 a=b 时取等ab号) 。2 利用基本不等式证明不等式(1) 常用来证明积 ab 与和 a+b 有关联的不等式。2(,)ababR(2) 常用来证明平方和与积有关联的不等式。2(,)(3) 常用来证明和与平方和有关联的不等式。22(,)ababR例 1已知 a,b,c 都是正数,且 a+b+c=1。求证:。2326证明: ()1,32.()321.32()96.1,abcabQ同 理 , 有但 由 于上 式 不 能 取 等 号32326.abc例 2 设 a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是( )A B.14ab32abC. D.22解析 , A 成立;Q114ababC 成立;222 0对于 D,如果 ,显然成立,如果 ,则2()0,2()0ababab而 成 立故 D 也成立。所以选 B。也可取特殊值,如 ,易验证 B 不成立1,例 3 已知 ,求证:,abcR(1) ;222()bcabc(2) 44a分析 由不等式两边的结构特点,联想到重要不等式,故可运用它们进行证明。22 2(),)xyxy xyR 及 变 形 不 等 式 :证明(1) ,22()abQ。2 ()ab同理 , 。2()bcbc2()ac三式相加得 。222ab(2) 4442,bcbacQ22()()即 。44acac 又22222222, ,()(),abcabcabcabc即点评 证明不等式时应根据求证式两端的结构,合理选择重要不等式及其变形不等式,本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性练习题:1、下列结论正确的是( ) 。A. 当 B. 当 时,10lg2xx且 时 , 0x12xC. 当 时, 的最小值为 2 D. 当 时, 无最大值2 22、 已知 a,b 均为正数,且 ,则 的最大值为( )1ababA. B . C. 2 D. 423、 已知 ,则1(),(0,)xfab2(),(),()ababAfGfaHfA,G,H 的大小关系是( )A. B. C. D. AGHA4、 已知 ,有不等式 : 启发我们可0x12,x243,x以推广为 ,则 a 的值为( )1na()NA. B. C. D. n221n5、 已知 ,且 ,那么( )0bbA. B. 4a42abbC. D. 42bb4a6、已知 ,且 ,求证: .0ab21a234ab7、若 ab1,P ,Q (lgalgb) ,Rlg( ) ,则( )lg 2baA.RPQ B.PQR C.QPR D.PRQ8、若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 .9、若 ,则下列不等式 ; ; 中,01ab|;|ba2a正确的不等式有 ( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10、已知不等式 对任意正实数 恒成立,则正实数 的最小值为 1()9axy,xya()()8()6(C)4(D)23 运用重要不等式求最值(1) “和定积最大”: ;2ab(2) “积定和最小”: 。运用最要不等式求最值要注意满足三个条件:正、定、等。即 a,b 都是正数,和或积是定值,a 与 b 能相等。 例 1 设实数 x,y,m,n 满足 ,求 mx+ny 的最大值。223,1xymn解:常见的错误解法是2222()mnxny xy其中等号成立的充要条件是 m=x,n=y ,矛盾。2213mn下面给出两种正确解法:解法一:22223()311()33xymxnynxyng当且仅当 x= m,y= n, 时,mx+ny 取得最大值 。321m解法二: 三角代换设 x= cos ,y= sin ,m=cos ,n=sin ,以后过程请自己完成。例 2 (1)已知 ,求函数 的最大值;54x1425yx (2)已知 190,xyxyx且 求 的 最 小 值 。分析 不是常1( ) 因 为 4-5b0,求 的最小值。)(162ba8、 ,且 ,则 的最小值是_。0,bab19、下列命题中正确的一个是 ( ) A 2 成立当且仅当 a,b 均为正数B 成立当且仅当 a,b 均为正数baClog ablog ab2 成立当且仅当 a,b(1,) D|a |2 成立当且仅当 a0110、已知实数 x,y 满足 x2y 21,则代数式(1xy)(1xy)有 ( )A最小值 和最大值 1 B最小值 和最大值 143C最小值 和最大值 D最小值 124311、实数_,y=_。 xyxyxyx , 此 时的 最 大 值 是, 那 么, 且, _logl02212、设 ,则 x+y 的最小值为_。1(,)且 yR13、求函数 y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值。14、设 a1,0b1,则 的取值范围为 ( )abaloglA B C D,2),2( )2,(2,15、设 0x1,a、 b 为正常数,则 的最小值为( )xb12A4ab B C D )(22ba2)(ba2)(ba4重要不等式在实际问题中的应用用均值不等式求函数的最大(小)值时,注意三个必要条件即一正(各项的值为正)二定(各项的和或积为定值)三相等(取等号的条件) 。例 1 某村计划建造一个室内面积为 800 的矩形蔬菜温室,在室温内,沿左2m右两侧和后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地,当矩形室温的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解:设矩形室温的左侧边长为 a ,后侧边长为 b ,则 ab=800。蔬菜的种植面积为S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b).S 808-4 =648( ).2b2m当且仅当 a=2b,即 a=40,b=20 时,取等号。答:当矩形室温的左侧边长为 40 ,后侧边长为 20 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648 。2例 2 为处理某种含有杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后,从 B 孔流出。设箱体的长度为 a 米,高度为 b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比。现有制箱材料 60 平方米,问当 a,b 各为多少米时,沉淀后,流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B 孔的面积忽略不计) 。解法一 由题意,有 。230a, 30b设 ,则abx230,523.18.xab当 a=2b 时等号成立,即 a=6,b=3 时流出的水中该杂质的质量分数最小。解法二 (以 b 为主元)依题意有 4260(,)abb得 3021a,可见要使 y 最大即要 a+2b 最小。()30232(1)321()441bba bg当且仅当 = 时取等号, 最小,y 达到最大值。这时321b()2ab,把 代入得 。,5()b舍 去 6故当 米, 米时,经过沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。6a注:以 a 为主元可同理得出正确答案。解法三 (同时考虑 a 和 b)依题意有 。4260(,),230(,)babab得变形得 ()13()2(1)34(2)4()218aabag即当 = 即 时取等号,易得 时 最大。1b6,3ba练习题:1、建造一个容积 8 ,深为 长的游泳池,若池底和池壁的造价每平方米分别为 1203m2元和 80 元,则游泳池的最低总造价为_元2、 某工厂第一年年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长率为 b,这两年的平均增长率为 x,则( )A. B. C. D . 2abx2abx2abx2abx3、 某家庭用 14.4 万元购买了一辆汽车,使用中维修费用逐年上升,第 n 年维修费用约为0.2n 万元,每年其它费用 0.9 万元.报废损失最小指的是购车费、维修费及其它费用之和的年平均值最小,则这辆车应在_年之后报废损失最小.4、 已知函数 的图象与 x、y 轴分别相交于 A、B, ( , 分别是()fxkb2Bijur与 x、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数 .2()6gx(1)求 k,b 的值;(2)当 x 满足 时,求函数 的最小值.()fx()1fx5、 某单位决定投资 3200 元建一仓库(长方体状), 高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米造价 45 元,屋顶每平方米造价 20 元.试计算:(1)仓库面积 S 的最大允许值是多少 ?(2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算 ,那么正面铁栅应设计为多长?6、某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位: m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 7、某工厂计划在新世纪中使全厂产值大幅度增长。2001 年的增长率为 ,2002(0)a年的增长率为 ,试判断这两年的平均增长率与 的大小。(0)b2ab
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号