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1相似图形解题方法指导(三)知识 回顾 一网打尽1.相似三角形(1)三角形相似的条件: ; ; .2.如何寻找和发现相似三角形两个三角形相似,一般说来必须具备下列六种图形之一:只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形,并能根据问题需要舔加适当的辅助线,构造出基本图形,从而使问题得以解决.知识要点 基础练习1在ABC 与 ABC中,有下列条件: (1 ) ; (2) ; (3)A= A; (4 )C= CBAC如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断ABC ABC的共有多少组( ) A1 B2 C3 D42.(09 新疆)如图,小正方形的边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与 相似的是AB( )3 (09 湖州)如图,在正三角形 中, , , 分别是 , ,ABCDEFBCA上的点, , , ,则 的面积与 的面积之比等于( ABDE F B)A 1 3 B23 C 2 D 3 4.( 09 枣 庄 ) 如图,DEF 是由ABC 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心,D,E,F 分别是 OA,OB ,OC 的中点,则DEF 与ABC 的面积比是( )A 1:2 B :4 C 1:5 D :65.(09 滨州)如图所示,给出下列条件: ; ; ;ABAC2ADBg其中单独能够判定 的个数为( ) A 1 B2 C3 D46.(09 重庆)锐角ABC 中,BC 6, ,ABCS两动点 M、N 分别在边2AB、AC 上滑动,且 MNBC,以 MN 为边向下作正方形 MPQN,设其边长为 x,正方形 MPQN 与ABC公共部分的面积为 y(y 0),当 x ,公共部分面积 y 最大,y 最大值 ,7.(09 牡丹江)如图, RtABC 中, 90, 直线 EFBD , 交 A于点 E, 交 C于点 G, 交AD于点 F, 若 13EGEGS 四 边 形 , 则 8.(09 孝感)如图,点 M 是 ABC 内一点,过点 M 分别作直线平行于ABC 的各边,所形成的三个小三角形 1、 2、 3(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49则ABC 的面积是 典型例题 方法指导考点 1 熟练掌握三角形相似的判定条件 例题 1 【考题 21 】下列命题中,正确的是( )A所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似C所有的等边三角形都相似 D所有的矩形都相似【考题 22 】如图 l42,D 、E 两点分别在CAB 上,且 DE 与 BC 不平行,请填上一个你认为适合的条件_,使得ADEABC【考题 23 】如图 l43,D 是ABC 的边 AB 上的点,请你添加一个条件,使 ACD 与ABC 相似你添加的条件是_ 变式练习 1 1 ABC 中,D 是 AB 上的一点,再在 AC 上取一点 E,使得ADE 与ABC 相似,则满足这样条件的 E 点共有( )A0 个 B1 个 C2 个 D无数个2厨房角柜的台面是三角形,如图 l44 ,如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石 (图中阴影部分)其余部分铺成白色大理石,那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是( )A B C D 14 41 13 343如图 145 ,AD BC 于 D,CEAB 于 E,交 AD 于 F,图中相似三角形的对数是( ) A3 B4 C5 D634若ABC 与ABC相似,ABC 的周长为 15,A B C 的周长为 45,则ABC 和ABC的面积比为_.5如图 146,AD 是ABC 的中线,ADC=45,把ADC 沿 AD 对折,点 C 落在 C的位置,则 BC和 BC 之间的数量关系是_.6梯形 ABCD 中,ABDC ,CD=8,AB=12,S 梯形 ABCD=90,两腰的延长线相交于点 M,则 SMCD=_考点 2 灵活运用三角形相似的判定方法和性质解答问题 例题 2 1、如图,D 为 ABC 内一点, E 为 ABC 外一点,且1= 2,3=4.(1)ABD 与 CBE 相似吗?请说明理由 .(2)ABC 与 DBE 相似吗?请说明理由 .2、如图,点 C、D 在线段 AB 上,且 PCD 是等边三角形.(1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时,ACPPDB ;(2)当 PDBACP 时,试求APB 的度数.变式练习 2 1、如图,在梯形 ABCD 中, AD/BC,BAD=90 ,对角线 BDDC.(1)ABD 与 DCB 相似吗?请说明理由.(2)如果 AD=4,BC=9 ,求 BD 的长.2、已知:如图,在正方形 ABCD 中,P 是 BC 上的点,且 BP=3PC, Q 是 CD 的中点.ADQ 与 QCP 是否相似?为什么?3、已知:如图所示,D 是 AC 上一点,BE AC,BE=AD,AE 分别交 BD、BC 于点 F、G,1=2.则BF 是 FG、EF 的比例中项吗?请说明理由.4证明等积式和比例式的方法归类:考点 3 当三角形相似但对应边的关系不明确时,怎么 办? 例题 3 如图,ABC 与 ADB 中,ABC= ADB=90,AC=5cm,AB=4cm ,如果图中的两个直角三角形相似,求 AD 的长. 变式练习 3 如图所示,已知 ABBC 于 B,CDBC 于 C,AB=4,CD=6,BC=14,P 为 BC 上一点,试问 BP 为何值时, AB 与 PCD 相似?AB P C考点 4 几何动点问题探究 例题 4 如图 RtABC 中,C=90, A=60 ,AB=12 cm,若点 P 从点 B 出发以 2 cm/秒的速度向 A 点运动,点 Q 从 A 点出发以 1 cm/秒的速度向 C 点运动,设 P、Q 分别从 B、A 同时出发,运动时间为 t 秒。解答下列问题:(1 )用含 t 的代数式表示线段 AP、AQ 的长(2 )当 t 为何值时 APQ 是以 PQ 为底的等腰三角形(3 )当 t 为何值时 PQBC?BCAPQD5变式练习 4 如图,在平面直角坐标系内,已知点 A(0,6) 、点 B(8,0) ,动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒1 个单位长度的速度向点 O 移动,同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点A 移动,设点 P、Q 移动的时间为 t 秒(1)求直线 AB 的解析式;(2)当 t 为何值时,APQ 与AOB 相似? (3)当 t 为何值时,APQ 的面积为 个平方单位?245考点 5 结点问题求线段的比方法:过结点做平行线构造“A” 型和“X” 型例题 5 在 ABC 的边 ABAC 上分别取 DE 两点,使 BD=CE,连接 DE 并延长交 BC 的延长线于 F,求证:ABCEFD变式练习 5 如图,ABC 中,AF:FD=1:3,BD=CD, 求 AE:EC6考点 6 复杂的几何探究问题 例题 6 如图 6.5-14,梯形 ABCD 中,ADBC,E、F 分别在 AB、CD 上,且 EFBC,EF 分别交 BD、AC 于M、N.(1 )求证 ME=NF(2)当 EF 向上平移到图 6.5-15 各个位置,其它条件不变时(1)的结论是否还成立,证明你的判断.变式练习 6 (09 武汉)如图 1,在 RtABC 中, 90, ADBC 于点 ,点 O是 AC边上一点,连接 BO交 AD于 F, EO 交 边于点 E(1)求证: ;(2)当 为 边中点, 2时,如图 2,求 OF的值;A DFC(图 6.5-14)E M N BA DFCE(M、N)BAB CDMN、E F(图 6.5-15)A DFCE MBNBBA ACOEDDECOF图 1 图 2F
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