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不可压缩流体动力学基础1已知平面流场的速度分布为 , 。求在点(1,-1)处流体微团的线xyux2yu52变形速度,角变形速度和旋转角速度。解:(1)线变形速度: x54xyuy角变形速度: xyuxyz 2121旋转角速度: xyz 2将点(1,-1)代入可得流体微团的 , ; ;1y23/z1/z2已知有旋流动的速度场为 , , 。试求旋转角速度,角32ux xuyuz变形速度和涡线方程。解:旋转角速度: 2121zyyx21uzzxy 21yxxz角变形速度: 5zuyx221zuzxy 5yxxz由 积分得涡线的方程为:zyxd,1c2cx3已知有旋流动的速度场为 , , ,式中 c 为常数,试求流场的涡量2zycux0yuz及涡线方程。解:流场的涡量为: 0zyuyx2zycxzy 2uyz旋转角速度分别为: 0x2zycy2z则涡线的方程为: cdzy即 cyzd可得涡线的方程为: 24求沿封闭曲线 , 的速度环量。 (1) , ;(2) , byx0zAxu0yAyux;(3) 0yu, 。其中 A 为常数。yur解:(1)由封闭曲线方程可知该曲线时在 z=0 的平面上的圆周线。在 z=0 的平面上速度分布为:,Axy涡量分布为: 0z根据斯托克斯定理得: 0zAsd(2)涡量分布为: z根据斯托克斯定理得: 2bzAs(3)由于 ,0rurA则转化为直角坐标为: ,22byx2Axu则 2byz根据斯托克斯定理得: AdzAs5试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件?答:不可压缩流体连续性方程直角坐标: (1)0zuyx柱面坐标: (2)rruz(1) 代入(1) 满足0,zyxk(2) 代入(1) 满足yxuzuz(3) 代入(1) 不满足0),(),( 222 zyx ukk(4) 代入(1) 不满足,sinsinzx(5) 代入(2) 满足0,0zrukru(6) 代入(2) 满足zr(7) 代入(2) 满足0,sin2,cosin2zr ur6已知流场的速度分布为 , , 。求(3,1,2)点上流体质点的加速yxuy3z度。解: yxxyxzuyxtaxxx 232200yutuzyxy 928ztazyzxzz 将质点(3,1,2)代入 ax、a y、 az 中分别得:, ,27xa9y64za7已知平面流场的速度分布为 , 。求 时,在(1,1)点上2yxtux2yxu0t流体质点的加速度。解: 22222 404 yxyxyxytyuxutaxx当 时, 0t 2284yxx将(1,1)代入得 3xa22222 4440 yxyxyxtyutuayxy 当 t=0 时,将(1 ,1)代入得: 1ya8设两平板之间的距离为 2h,平板长宽皆为无限大,如图所示。试用粘性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速分布。解: 方向速度与时间无关,质量力:z gfx运动方程: 方向: 210duzp方向:xxg积分: )(zfp 对 的偏导与 无关, 方向的运动方程可写为zx zpdyu12积分: 212Czpu边界条件: ,hx0u得: ,01C22z 2)(hpu9沿倾斜平面均匀地流下的薄液层,试证明:(1)流层内的速度分布为 ;sinybu2(2)单位宽度上的流量为 。sin3bq解: 方向速度与时间无关,质量力 ,xgfx cosgfy运动方程:x 方向: 21sin0dupgy 方向: yco 积分)(sxfgpba )(csxfgba cos)(yha 常数 与 无关px可变为 sin2gdyu积分 )1(i212Cy边界条件: , ; , 0yub0du ,bC12 sin)2()(sinybrygu3si20ddyQb10.描绘出下列流速场解:流线方程: yxu(a) , ,代入流线方程,积分:4xu3cxy43直线族(b) , ,代入流线方程,积分:4xuxy3cxy283抛物线族(c) , ,代入流线方程,积分:yux40cy直线族(d) , ,代入流线方程,积分:yux43cyx23抛物线族 (e) , ,代入流线方程,积分:yux4x3cyx243椭圆族(f) , ,代入流线方程,积分:yux4xcyx2双曲线族(g) , ,代入流线方程,积分:yux4xcyx2同心圆(h) , ,代入流线方程,积分:4xu0y cy直线族(i) , ,代入流线方程,积分:4xuxycxy2抛物线族(j) , ,代入流线方程,积分:xu40y cy直线族(k) , ,代入流线方程,积分:xyu40cy直线族(l) , ,由换算公式: ,rcu0 sincouurxcossinury,2yxx20yy代入流线方程积分: c直线族(m) , , ,0rurc 20yxcrux20yxcru代入流线方程积分: y2同心圆11.在上题流速场中,哪些流动是无旋流动,哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动,它的旋转角速度的表达式是什么?解:无旋流有: (或 )xuyyru(a) , (f) , (h) , (j) , (l) , (m)为无旋流动,其余的为有旋流动对有旋流动,旋转角速度: )(21yux(b) (c) (d) (e )2327(g) (i) (k)4x12.在上题流速场中,求出各有势流动的流函数和势函数。解:势函数 dyux流函数 yx(a) d34yxy34(e) yxxdd0034取 为 则),(0yx,(积分路线可选其中 0,:,ydxyx)34()30( 00 yyxd xy3)0()(2334xyxdy其他各题略13.流速场为 , 时,求半径为 和 的两流线间流量的表达式。rcuar,0)( rubr2,0)(1r2解: dQdrcraln)( 211212 ln)l(lrc)(rrdb )(22112Q14.流速场的流函数是 。它是否是无旋流动?如果不是,计算它的旋转角速度。证明任一3yx点的流速只取决于它对原点的距离。绘流线 。2解: xy6y6223y2 是无旋流2x0y23uxyuy6 即任一点的流速只取决于它对原点的距离223)(rxuyx流线 即33用描点法: 2)(2yxL23,1,xyxy(图略)15.确定半无限物体的轮廓线,需要哪些量来决定流函数。要改变物体的宽度,需要变动哪些量。以某一水平流动设计的绕流流速场,当水平流动的流速变化时,流函数是否变化?解:需要水平流速 ,半无限物体的迎来流方向的截面 A,由这两个参数可得流量 。改变物体0v AvQ0宽度,就改变了流量。当水平流速变化时, 也变化xyarctgQyv2016.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量?试根据指定长度 ,指定宽度 ,设计朗金ml2mb5.0椭圆的轮廓线。解:需要水平流速 ,一对强度相等的源和汇的位置 以及流量 。0vaQ)(20 xyarctgxyarctgQyv驻点在 处,由 得椭圆轮廓方程:,l5.0,2bl 1)25.0(1yx即: 162yx17.确定绕圆柱流场的轮廓线,主要取决于哪些量?已知 ,求流函数和势函数。mR解:需要流速 ,柱体半径0vRsin)(2r Rsi)4(0rvco)(20rv Rcos)(20rRv18.等强度的两源流,位于距原点为 的 轴上,求流函数。并确定驻点位置。如果此流速场和流函数为ax的流速场相叠加,绘出流线,并确定驻点位置。vy解:叠加前 )(2axyrctgaxrctgQ)()(222axyaxyQux )()(222xy当 0)(2ayQu0xuy1xxy驻点位置 )0,(叠加后 )2axyrctgaxyrctgQvy流速为零的条件: 0)(2)(0 xQvuyx 解得: 22)(1aQv即驻点坐标: 0,22v,)(2122aQv19.强度同为 的源流和汇流位于 轴,各距原点为 。计算坐标原点的流速。计算通过sm/60xma3点的流线的流函数值,并求该点流速。)4,(解: )(2axyrctgaxyrctgQ smaxyxayyuaQx /37.61112223,60, y的流函数:)4,0( 34)34(2arctgQarctgt smaxyxyQyuayxQx /25180)(1)(1223,40,6 0yu20.为了在 点产生 10 的速度,在坐标原点应加强度多大的偶极矩?过此点的流函数值为何?)5,(解: 20RvM将 代入得:,1050r2sin将 代入得:,1,5Rr5021.强度为 的源流和强度为 的环流均位于坐标原点,求流函数和势函数,求sm/.0sm/2的速度分量。),1(解: , ,rQln22lnrQrQur将 代入得:25.01,.0 sr/084.ru2将 代入得:25.01,smu/142.0
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