具有马尔可夫跳变参数的时滞递归神经网络的指数稳定性摘要：在这篇文章里，全球指数稳定性分析问题被认为是具有马尔可夫跳变参数滞后的一类递归神经网络（RNNs） 。跳参数考虑在这里是产生于一个连续时间离散状态的均匀的马尔可夫过程，它是由一个具有离散和有限状态空间的马尔可夫过程调制的。解决这个问题的目的是得到一些容易测试的条件，如动态神经网络在均方中是稳定的具有独立的时间延迟的随机指数。利用一个新的 Lyapunov - Krasovskii 泛函，线性矩阵不等式（LMI）的方式被发展成建立理想的充分条件，因此，在均方中的对时滞递归神经网络的全球指数稳定可以很容易地被检验利用数控高效的 MATLAB LMI 的工具箱，并没有做出调整的参数要求。利用一个数值例子以显示衍生出基于 LMI 的稳定性条件的用处。关键词：递归神经网络；马尔可夫跳参数；时间延迟；随机系统；均方全局指数稳定性；线性矩阵不等式。文章摘要1、 介绍2、 问题公式3、 主要的结果和证明4、 一个数值例子1介绍在过去的几十年里，数学性质的递归性神经网络，如稳定性，吸引性和振动性，已在紧锣密鼓地进行研究中。递归性神经网络已成功应用于许多领域，包括图象处理，模式识别，联想记忆，和优化问题。事实上，具有时间延迟的递归性神经网络的稳定性分析问题随着时间的拖延已是一个有吸引力的课题研究，在过去数年里，在这个领域的时间延误，正在审议的，可以列为不断拖延，时间变时滞，并分发了延误。各充分条件，无论是时滞依赖或独立延迟的，已被提出以保证全局渐近或指数稳定对时滞递归神经网络，对于一些近期出版物，有许多方法已经被使用，如 LMI 方法和 M 矩阵的方法。传统 rnns 假定了连续变量传播从一个处理单元到下一个。不过， rnns 在输入流追赶长期的依赖性上有时有问题。由于时间序列增加长度，早期的组成部分序列的影响已较少影响对网络的输出。这种现象被称为问题的信息闭锁。一种广泛使用的办法来处理与资讯闭锁的问题，是提取有限状态交涉（也称集群，样式或模式） ，由受过训练的网络。在换句话说， rnns 可能有限模式，而且模式可切换（或跳变） ，从一个网络跳变到另一个在不同的时间里。最近，它已被证明 ，开关（或跳变）在不同在 RNN 的模式这间，可以由一个马尔可夫链调制。因此， 一个 RNN 这样的一个跳字可以描述成混合的一个，那就是状态空间的 RNN 的既包含离散也包含连续状态。为某一特定模式下，动态的 RNN是连续的，而是跳变参数之间的不同模式可视为离散事件。注意到这个概念的马尔可夫神经网络已被用于一些文件。因此，在构造具有有限网络模式的一类神经网络时，具有马尔可夫跳变参数的 rnns 具有十分重要的意义。应该指出的是，到目前为止，稳定性分析问题，具有马尔可夫调制的 rnns 受到很少研究的重视，尽管它的实际意义很大。在这篇文章中，我们关注分析问题，具有混合时间延误和 Markovian 参数的 RNNS的全局指数稳定性。以作者的所有知识来看，这是第一次尝试介绍和研究具有马尔可夫调制的时滞 RNNS。但值得一提的是，马氏跳变系统（ MJSs）在控制和信号处理的领域对控制和过滤问题已经做了广泛的研究。这篇文章的主要目的是要建立基于 LMI 稳定的标准测试是是否动态网络随机均方指数稳定的，独立的时间延迟。据了解，利用数值吸引力的MATLAB LMI 的工具箱,LMIs 可被有效地解决，因此，我们提出的结果将是可行的。我们将用一个简单的例子来说明导出基于 LMI 稳定性条件的用处。2问题方程这篇文章中的符号都是很标准的。 和 表示 n 维欧几里德空间和 nm 实矩阵。该标志“T”表示当 X 和 Y 是对称的时转置矩阵和表达式 X Y 来说， XY 是半正定的。 i是矩阵的身份与兼容层面。我们设 H 0 和 ，连续函数 从 h,0 到 ，以符合规范 =suph 0|()|，| |是 中的欧几里德范数。如果 A 是一个矩阵，令A 指 A 的算子范数，例如， ， max( ) ( min( )表示 A 的最大（小）特征值。 l20,是平方可积向量空间。此外，设 是一个完全概率空间且当 满足通常的条件。设表示所有 族，可测的 随 的值改变。例如， ， 代表数学期望算子与给定的值 P 有关 。有时，在分析中，一个函数的论点会被省略当没有混淆出现时。 在这篇文章中，具有时滞递归神经网络被描述成如下形式：(1)是具有 n 个神经元的状态向量，对角矩阵A=diag(a1,a2,an) 有正的输入 ai0。矩阵 和 分别是连接权矩阵和时滞连接权矩阵。 gk(u(t)=gk1(u1),gk2(u2),gkn(un)T (k=0,1) 表示神经元激活函数当 gk(0)=0，并且 V=V1,V2,VnT 是一个常数的外部输入向量。标量 h0 可能未知，表示时间延迟。假设 1在 gi( )中的神经元激活函数是受限制的并且满足如下的 Lipschitz 条件：(2)是一个已知的常量矩阵。注释 1在过去一段日子，激活函数必须连续，可微和单调增加，如 sigmoid 型函数。在这篇文章中，这些限制都取消，只有 Lipschitz 条件和有界性是需要的在假设 1 中 。注意到，该类型的激活函数已被用到了在众多的论文中。 设 u*是（1）的平衡点 。为了简单的目的，我们可以转向意图平衡点 u *让 x=uu*,然后系统（ 1 ）可转化为：(3)是转化系统的常量。它来源于（2） ，变换神经元的激活函数 lk(x)=gk(x+u*)gk(u*) (k=0,1)满足|lk(x)| |Gkx|,(k=0,1)在（2）中。现在，在（3）的基础上，我们来介绍具有马尔可夫跳变参数的时滞递归神经网络。在概率空间中是一个右连续的马尔可夫过程，在有限空间具有生成元 =(ij) ( )给定如下0 和 lim0 o()/=0, ij 0 是转换速率从 i 到 j 如果 ij 且 ii=jiij. 在这篇文章里，我们认为下列时滞递归神经网络与 Markovian 跳变参数，其实是由（3）改造的 ：(5)x(t), l0(x(t) 和 l1(x(th)在（3）中是同样的意思，一个固定的系统模式， A(r(t), W0(r(t) 和 W1(r(t) 是已知的带有适当元的常矩阵。.马尔可夫过程 在有限空间 中取值。为了简便我们写成： (6)现在我们要在网络模型 r(t)=i, 上做工作。设 x(t;)表示状态轨道从初数据 x()=() 在 h 0 in 上. 显然，网络 (5) 有一个平衡点 x(t;0)0 相应的初数据 =0.下面的稳定概念是在本篇文章中需要的。定义 1对于时滞递归神经网络（5）和每个 ，如果平衡点是渐变的均方稳定，对于每个网络模型(7)而且如果是均方平衡稳定，对于每个网络模型，存在标量 0 和 0 如(8)我们这篇文章的目标是要建立基于 LMI 的稳定标准，使动态网络（ 5 ）是均方平衡稳定在广场，独立的时间延迟。 3 .主要结果和证明首先，让我们给出如下的引理，为了得到主要的结果，在这篇文章的证明中会经常使用的。引理 1设 , 且 0. 则可得到 xTy+yTx x Tx+ 1yTy. 证明利用不等式 ( 1/2x 1/2y)T( 1/2x 1/2y) 0 马上就可得出结论。引理 2已知常矩阵 1, 2, 3 当 和 , 则当且仅当此篇文章的主要结论给出如下，这表明动态网络（ 5 ）是全局均方指数稳定，如果一组线性矩阵不等式是可行的。 定理 1 如果存在两个序列的正标量 和一个序列的正定矩阵，如符合以下的线性矩阵不等式(9)则动态的神经元网络是全局的均方指数稳定。证明设 指 非负函数 Y(x,t,i)的所有元素 在 上是连续的二次可微的在 X 和 t 中 . 表示(10)令 任意的和 x(t; )=x(t). 定义一个 Lyapunov 函数若(11)而 Q 0 被给如下(12)我们知道 x(t),r(t) (t 0) 是一个 -马尔可夫过程.从（5）中，弱无穷算子 随机过程 r(t),x(t) (t 0) 被给定如下：(13)它是从 得到的(14)同引理 1 和（4）我们有：(15)和(16)定义(17)观察(12), (14), (15), (16) 和(17), 它来源于 (13) 得到(18)现在,前后乘以不等式（ 9 ） ，分块对角矩阵 产生(19)或(20)而它是由 Schur 后补引理 （2）得到的，(20) 成立当且仅当 或指 0 为独特的根方程min()max(Pi)hmax(Q)xh=0, (22)Q 是定义在 (12)中的, Pi 是对(9) 或 (21)的正定义的解决方案 , h 是时间延迟。 从 (11) 中我们可以得到 则 结合从 0 到 T0 给出注意到则在（22）中定义 我们有和注意到 (xT1)xT0 是任意的,均方指数稳定性定义就得到满足, 因此定理 1 的证明完成。 注释 2 这表明，在定理 1 中，神经网络（ 5 ）的均方指数稳定性是可检查的，如果一套加上LMIs 的内容是可行的。注意到解 LMIs 由标准的 LMI MATLAB 工具箱可真实的检验 ，并不需要没有作出参数调整，主要结果在定理 1 ，是非常可行的。 但值得一提的是，我们的研究结果可以很容易地扩展到多时滞的情形。现在考虑下列马尔可夫跳变神经网络与多时间变时滞：(23)而 hk(t) (k=1,2,m)是一个时变标量，满足 0 hk(t) hk0, 110, 020, 120, P10 ， P20, 我们得到因此，由定理 1 我们得到马尔可夫跳参数的时滞神经网络。