Malthus 人口指数增长模型的检验和改进姓名：陈明富 学号：20071060005 学院：信息 专业：计科 Malthus 人口指数增长模型的假设：1、人口的增长率为常数，记为 r2、记时刻 的人口为 ，初始时刻的人口为t)(tx0x模型建立：微分方程为： 0)(xrdtxrtx两端积分，并结合初值条件得： )(00)(trext模型检验：从 17901980 年间美国每隔 10 年的人口记录如下表：年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850人口(10 6) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920人口(10 6) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980人口(10 6) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5根据上表：当 时对应的 1790 年， 对应的是 1800 年，十年的增长率为0t 1t， ，则37.ln9.35r 359.307.e ttx)359.1()(将表中的数据代入后发现，当人口较少时模型的预测结构与实际情况相差不大。但人口多时模型的预测与实际相差比较大，同时根据所列的方程发现，这不合常理。在讨论模型的合理性时发现人口的增长率是随)(0lim)(trtt x人口的增长而呈下降趋势的。模型改进：随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长开始起阻滞的作用，人口的增长率也会随之逐渐下降。模型假设：1、人口增长率是当时人口数 的递减函数x)(xr2、 表示资源资源和环境条件下的最大人口容量mx3、 r表示固有增长率，即人口很少时， 0)()0xtxrm时 ，；时 ， 人 （模型建立：设 ，显然 时， r)(.由假设 时，axr)(0mx应 ，即0xm，mra)1()( mxrxrx用 代替 Malthus 人口指数增长模型中的 ：)(xr)0()10xrdtm求方程的解为：rtmmm rtmcrtmm mmmextx xccxt ecxeecx crttxrdtxx dxxdxx )1(1)( 1 ,0 ),.(ln ,)ln(l)1( )1()(00330 322 111时两 边 求 不 定 积 分左 边 所求出的方程解为下图所示：模型讨论：该模型相对于 Malthus 人口指数增长模型来说更合理，克服了人口指数增长模型的不足，对于人口的增长起到了一定参考作用。