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- 1 -构造函数证明不等式的八种方法1、移项法构造函数例:1、已知函数 ,求证:当 时,但有xxf)1ln() 1xx1ln(2、已知函数 (1)若 在 R 上为增函数,求 a 的取值范围。2)(xaexf)(xf(2)若 a=1,求证: 时,02、作差法构造函数证明例:1、已知函数 ,求证:在区间 上,函数 的图象在函数xxfln21)(),1()(xf的图象下方。3)(xg- 2 -思想:抓住常规基本函数,利用函数草图分析问题2、已知函数 的图象在点 处的切线方程为 y=x,设xnfl)()(,xfmP, (1)求证:当 时, 恒成立;(2)试讨论关于 的xmg2)(10gx方程 根的个数。txeg23)(3、换元法构造函数证明例:1、证明:对任意的正整数 n,不等式 ,都成立。321)1l(n2、证明:对任意的正整 n,不等式 都成立。321)1l(n3、已知函数 , (1)若 为 的极值点,求实数 aaxaxf 23)1ln() 32)(xfy的值;(2)若 在 上增函数,求实数 a 的取值范围。 (3)若 a=-1 时,方程y,- 3 -有实根,求实数 b 的取值范围。xbxf3)1(4、从条件特征入手构造函数证明例 1 若函数 在 R 上可导且满足不等式 恒成立,且常数 满足)(fy )( xfxfba,,求证:baba5、主元法构造函数例 1.已知函数 , , (1)求函数 的最大值;(2)设xxf)1ln() xgln)()(xf,证明:ba0 l)(20abba6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例 1:已知函数 , (1)若 在 R 上为增函数,求 a 的取值范围;2)(xaexf)(xf(2)若 a=1,求证: 时,0f7、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式)- 4 -例 1:证明当 时,0x21)(xe8、构造形似函数例 1:证明当 ,证明eabab2、已知 都是正整数,且 ,证明:nm、 nm1mn)1()(思维挑战1、设 , ,求证:当 时,恒有0axaxf ln2l1)(1xln2lx2、已知定义在正实数数集上的函数 , ,其中 ,axxf21)(bxagln3)(20a且 ,求证:abln352g3、已知函数 ,求证:对任意的正数 恒有xxf1)ln() ba、 ab1ln4、 是定义在 上的非负可导数,且满足 ,对任意正数 ,)(xf),0(0)( xff ba、若 ,则必有( )baA. B. C. D.)(ff)(baff)(bfa)(f- 5 -
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