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教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 1 页/共 8 页教师姓名 王靖贤 学生姓名 刘泽平 上课时间 2014.5.24学科 数学 年级 初二 教材版本 人教版阶段 第( )周 观察期: 维护期: 备课时间 2014.5.21课题名称 勾股定理重点题型讲解 课时计划第( 6 )次课共( 2 )课时教学目标 系统梳理勾股定理的知识点,灵活运用知识点进行解题。教学重难点 勾股定理重点题型教学内容 勾股定理重点题型初二(八年级)下册数学勾股定理典型习题经典例题精讲题型一:直接考查勾股定理例.在 中, ABC902 知 , 求 的长68AB已知 , ,求 的长175C分析:直接应用勾股定理 22abc解: 210ABC 8题型二:利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?解析:这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后,.已知斜边长和一条直角边长,求另外一条直角边的长度,可以直接利用勾股定理!根据勾股定理 AC2+BC2=AB2, 即 AC2+92=152,所以 AC2=144,所以 AC=12.教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 2 页/共 8 页例题 2 如图(8),水池中离岸边 D 点 1.5 米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分 BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端 B 恰好落到 D 点,并求水池的深度 AC.解析:同例题 1 一样,先将实物模型转化为数学模型,如图 2. 由题意可知ACD 中,ACD=90,在 RtACD 中,只知道 CD=1.5,这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步骤如下(仅供参考):解:如图 2,根据勾股定理,AC 2+CD2=AD2 设水深 AC= x 米,那么 AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=( x+0.5) 2解之得 x=2.故水深为 2 米.题型三:勾股定理和逆定理并用例题 3 如图 3,正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上的中点,F 是 AB 上一点,且 那ABF41么DEF 是直角三角形吗?为什么?解析:这道题把很多条件都隐藏了,乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律,没有任何条件,我们也可以开创条件,由 可以设 ABAB41=4a,那么 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a,那么在 RtAFD 、RtBEF 和 RtCDE 中,分别利用勾股定理求出 DF,EF 和 DE 的长,反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF 是否是直角三角形。解:设正方形 ABCD 的边长为 4a,则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a在 RtCDE 中,DE 2=CD2+CE2=(4a)2+(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF2=25a2在DEF 中,EF 2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2DEF 是直角三角形,且DEF=90.教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 3 页/共 8 页注:本题利用了四次勾股定理,是掌握勾股定理的必练习题。题型四:利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4,已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上取一点 E,将ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE 的长.解析:解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。详细解题过程如下:解:根据题意得 RtADERtAEFAFE=90, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,则 DE=EF=CDCE=8x在 RtABF 中由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,即 82+BF2=102,BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在 RtECF 中由勾股定理可得:EF2=CE2+CF2,即(8x) 2=x2+426416x+x 2=2+16x=3(cm),即 CE=3 cm注:本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。题型五:利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5,王师傅想要检测桌子的表面 AD 边是否垂直与 AB 边和 CD 边,他测得 AD=80cm,AB=60cm,BD=100cm,AD 边与 AB 边垂直吗?怎样去验证 AD 边与 CD 边是否垂直?解析:由于实物一般比较大,长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图 4,矩形 ABCD 表示桌面形状,在 AB 上截取 AM=12cm,在 AD 上截取 AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度?),连结 MN,测量 MN 的长度。 果 MN=15,则 AM2+AN2=MN2,所以 AD 边与 AB 边垂直;教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 4 页/共 8 页如果 MN=a15,则 92+122=81+144=225, a2225,即 92+122 a 2,所以A 不是直角。利用勾股定理解决实际问题。例题 6 有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高 4.5 米的墙上,任何东西只要移至 5 米以内,灯就自动打开,一个身高 1.5 米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开?解析:首先要弄清楚人走过去,是头先距离灯 5 米还是脚先距离灯5 米,可想而知应该是头先距离灯 5 米。转化为数学模型,如图 6 所示,A 点表示控制灯,BM 表示人的高度,BCMN,BCAN 当头(B 点)距离A 有 5 米时,求 BC 的长度。已知 AN=4.5 米,所以 AC=3 米,由勾股定理,可计算 BC=4 米.即使要走到离门 4 米的时候灯刚好打开。题型六:旋转问题:例 1、 如图,ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与ACP重合,若 AP=3,求 PP的长。变式 1:如图,P 是等边三角形 ABC 内一点,PA=2,PB= ,PC=4,求ABC23的边长.分析:利用旋转变换,将BPA绕点B逆时针选择60,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形.教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 5 页/共 8 页变式2、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,E、F是BC上的点,且EAF=45,试探究 间的关系,并说明理由. 22BC、 、题型七:关于翻折问题例 1、 如图,矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC 上一点,将矩形纸片沿 AE 折叠,点 B 恰好落在 CD 边上的点 G 处,求 BE 的长.变式:如图,AD 是ABC 的中线,ADC=45,把ADC 沿直线 AD 翻折,点 C 落在点 C的位置,BC=4,求 BC的长 .题型八:关于勾股定理在实际中的应用:例 1、 如图,公路 MN 和公路 PQ 在 P 点处交汇,点 A 处有一所中学,AP=160 米,点 A 到公路 MN 的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,周围 100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路 MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是 18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?APQMN教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 6 页/共 8 页题型九:关于最短性问题例 5、如右图 119,壁虎在一座底面半径为 2 米,高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的 B 处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?( 取 3.14,结果保留 1 位小数,可以用计算器计算)变式:如图为一棱长为 3cm 的正方体,把所有面都分为 9 个小正方形,其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点,最少要花几秒钟?三、课后训练:一、填空题1如图(1),在高 2 米,坡角为 30的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需_米图(1)2种盛饮料的圆柱形杯(如图) ,测得内部底面半径为 2.5,高为 12,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出 4.6,问吸管要做 。教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 7 页/共 8 页3已知:如图,ABC 中,C = 90,点 O 为ABC 的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,点D、E、F 分别是垂足,且 BC = 8cm,CA = 6cm,则点 O 到三边 AB,AC 和 BC 的距离分别等于cm4在一棵树的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高_米。5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为 20dm、3dm、2dm,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是_.二、选择题1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是()A、25 B、14 C、7 D、7 或 252Rt一直角边的长为 11,另两边为自然数,则 Rt的周长为()A、121 B、120 C、132 D、不能确定3如果 Rt两直角边的比为 512,则斜边上的高与斜边的比为()A、6013 B、512 C、1213 D、601694已知 RtABC 中,C=90,若 a+b=14cm,c=10cm,则 RtABC 的面积是()A、24cm 2 B、36cm 2 C、48cm 2 D、60cm 25等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,则三角形的面积为()A、56 B、48 C、40 D、32COA BDEF第 3 题图DBC A第 4 题图 203B教学设计方案 XueDa PPTS Learning Center第 8 页/共 8 页6某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要()A、450a 元 B、225a 元 C、150a 元 D、300a 元7已知,如图长方形 ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,则ABE的面积为()A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 28在 ABC 中, AB=15, AC=13,高 AD=12,则 ABC 的周长为A42 B32 C42 或 32 D37 或 339. 如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为 1,则ABC 是 ( )(A)直角三角形
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