第二节线性方程组解的求法,上节给出了线性方程组是否有解的判定定理，本节主要讨论如何求解. 熟练求解线性方程组是本章学习的重点.,定理2.1,对于线性方程组(1)有：,(1) 若,(2) 若,(1) 因为,证,则方程组(1)有唯一解.,则方程组(1)有无穷多个解.,所以A中有n阶子式不为零，这不为零的n阶子式所在的n个行向量线性无关. 不失一般性，设它位于左上角，那么,经过初等行变换可化为,即方程组(1)与方程组,(1),为同解方程组，而(1)的系数行列式,根据克莱姆法则，方程组(1)有唯一解，从而方程组(1)有唯一解.,再对 A 进一步作行的初等变换，可得：,单位矩阵E,向量d,于是得方程组(1)的唯一解：,(2) 因为,不妨设不为零的r阶子式位于左上角，那么经过行的初等变换可化为,此时,中有r阶子式不为零,而任意r+1阶子式都为零，这不为零的r阶子式所在的r个行向量线性无关.其他行向量都可有这r个行向量线性表出.,再进一步作行的初等变换得,单位矩阵E,向量d,于是得方程组(1)的同解方程组：,可以改写为,任给一组数,则得只含有未知量x1, x2, , xr的方程组：,称为自由未知量.,于是得方程组(1)的解,它也是同解方程组Ax=b的解. 由于自由未知量的值是可任意取的, 所以方程组(1)有无穷多个解.,推论1,齐次线性方程组,永远有解.,如果R(A)=n, 则齐次线性方程组只有唯一零解.,如果R(A)=rn, 则齐次线性方程组除零解外, 还有无穷多个非零解. 特别是, 当方程的个数mn时, 齐次线性方程组必有无穷多个非零解.,注 定理2.1给出了线性方程组的求解方法. 并且若,方程组Ax=b的解中,自由未知量的个数为n-r.,含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是其系数行列式,推论2,例1,求解线性方程组,(-1),(-2),解,1,可见,由判定定理1.1知方程组无解.,例2,求解线性方程组,解,(-1),(-3),2,2,(-1),1,1,(-1/7),因为,所以方程组有唯一解：,-3,-5,例3,求解线性方程组,解,(-1),(-1),(-1/2),3,(-1),得原方程组的同解方程组,其中x2, x4为自由未知量.,任取x2=k1, x4=k2, 得方程组的解为,通常写成,写成向量形式,其中x2, x4为自由未知量.,