27.2 三角形相似的判定（3）,复习,1、相似三角形有哪些判定方法?,2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？,（）定义法（不常用）,（）“平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。,（）“三边”定理：三边对应的比相等，两个三角形相似.,（）“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似.,观察,观察两副三角尺，其中同样角度（30与60，或45与45）的两个三角尺,它们一定相似吗？,如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？,探究3,(1)作ABC和 ABC,使得AA,BB，这时它们的第三个角满足CC吗?(2)分别度量这两个三角形的边长,计算 ,你有什么发现?,(3)ABC和 ABC相似吗?,分析:要证两个三角形相似，目前只有四个途径。一是三角形相似的定义；二是“平行”定理；三是“三边”定理；四是上节课学习的“两边夹角”定理。,已知：在ABC 和A/B/C/ 中,求证:ABC A/B/C/,（把小的三角形移动到大的三角形上）。,怎样实现移动呢?,为了使用它，就必须创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？,证明：在ABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。,P48 判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。, AD=A/B/,A=A/，AE=A/C/, A DEA/B/C/（SAS）, ADE=B/，,又 B/=B，, ADE=B，, DE/BC，, ADEABC。, A/B/C/ABC,求证：ABC ABC,已知：在ABC 和 ABC,中,若A=A，B=B，,-“两角”定理,用数学符号表示：,C,C, A=A， B=B, ABC ABC,用数学符号表示：,相似三角形的识别,(两个角分别对应相等的两个三角形相似),例1、已知：ABC和DEF中， A=400，B=800，E=800， F=600。求证：ABCDEF,证明： 在ABC中，A=400，B=800， C=1800A B =1800400 800 600 在DEF中，E=800，F=600 B=E，C=F ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）。,400,800,800,600,600,2、课堂练习,（1）、已知ABC与A/B/C/中，B=B/=750，C=500，A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？,（2）已知等腰三角形ABC和A/B/C/中，A、A/分别是顶角，求证：如果A=A/，那么ABCA/B/C/。 如果B=B/，那么ABCA/B/C/。,例2. 如图，ABC中， DEBC，EFAB， 试说明ADEEFC.,解: DEBC，EFAB（已知），, ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）,AEDC. （两直线平行，同位角相等）, ADEEFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似）,3.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相似的三角形证明.,应用新知：,选一选,（1）与（4）与（5）-“两角”定理,（2）与（6）-“两边夹角”定理,4、判断题：(1)所有的直角三角形都相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( )(3)所有的等边三角形都相似. ( )(4)所有的等腰直角三角形都相似. ( )(5)顶角相等的两个等腰三角形相似. ( )(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( ),应用新知：,想一想,填一填（1）如图3，点D在AB上，当 时， ACDABC。（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足 条件 ，就可以使ADE与原ABC相似。, ACD, B,(或者 ACB ADB),DE/BC,D,(或者 C ADE),(或者 B ADE),D,P48 练习 1、2,例2：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PAPB=PCPD,证明：连接AC、BD。A和D都是弧CB所对的圆周角， A=D。同理C=B （或APCDPB） 。PACPDB。,A,B,C,D,P,O,即PAPB=PCPD,例2.弦AB和CD相交于o内一点P,求证:PAPB=PCPD,A,B,C,D,P,O,证明:连接AD、BC,A、C都是BD所对的圆周角, A=C,同理: D=B（或APDCPB）,PADPCB,即PAPB=PCPD,例3.已知D、E分别是ABC的边AB,AC上的点，若A=35, C=85,AED=60 则ADAB= AEAC,85,35,60,85,例4、在四边形ABCD中，AC平分DAB，ACD=ABC。求证：AC2=ABAD,A,B,C,D,1、在ABC中，ACB90，CDBA于点D。证明：AC2ADAB,2、已知梯形ABCD中，ADBC，BAD90，对角线BDDC。证明：BD2ADBC,B,D,A,C,E,A,B,D,C,3.如图已知D、E分别是ABC的边AB、AC上的点，且 。证明：,E,A,B,D,C,解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =4,3.已知如图， ABD=C AD=2 AC=8，求AB,D,B,C,A,18,相似三角形的识别方法有那些？,方法1：通过定义,方法5：“两角”定理：两角对应相等，两三角形相似。,课 堂 小 结,（这可是今天新学的，要牢记噢！),方法2： “平行”定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。,方法3：“三边”定理：三组对应的比相等，两个三角形相似.,方法4：“两边夹角”定理：两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似.,（不常用）,四、课外作业,1.填练习册2.复习,再见,5、如图：在Rt ABC中， ABC=900，BDAC于D,A,B,D,C,E,F,问：若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，求证：AB : AC=DF : BF,常见图形,如图, ABC中,CD是边AB上的高,且AD:CD=CD:BD, 求C的大小.,综合提高,4.如图，P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条,应用新知：,画一画,C,4.如图, B=90,AB=BE=EF=FC=1,求证:(1) AEF CEA.(2) 1+ 2= 45 ,证一证,应用新知：,已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。,学以致用,例3、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,已知：在RtABC中，CD是斜边AB上的高。,证明: A=A，ADC=ACB=900，,此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用., ACDABC（两角对应相等，两 三角形相似）。,同理 CBD ABC 。, ABCCBDACD。,求证：,延伸练习,已知：如图，在ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。,（2）图中还有与AEF相似的三角形吗？请一一写出 。,（1）求证：AEFADC；,F,答:有AEFADCBECBDF.,课外思考题：,如图，在ABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ADE与 ABC相似？,（提示：图有两种可能）,泰勒斯测量金字塔高度的示意图:,如果人体高度AC1.7米，人影长BC2.2米，而BC176米，你能求出金字塔的高度并说明其中的道理吗？,可证ABCABC即所以A C=1.7x1762.2=136m,怎样创造具备预备定理条件的图形？,是否相似？,利用相似三角形的定义？,利用相似三角形的预备定理？,条件不够,可以证明！,把小的三角形移动到大的三角形上。,A,B,C,D,F,E, AM=DE,A=D，AN=DF, AMNDEF，, AMN=E，,又 B=E，, AMN=B，, MN/BC，, AMNABC。, DEFABC,证明：在AB,AC上分别截取AM= DE,AN = DF,已知:在ABC和DEF中,A=D,B=E,求证: ABC与 DEF.,判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 (两角对应相等，两三角形相似),找一找,（1）图1中DEFGBC，找出图中所有的相似三角形。,（2）图2中ABCDEF，找出图中所有的相似三角形。,答：相似三角形有 ADEAFGABC。,答：相似三角形有 AOBFOEDOC。,（3）在ABC和ABC中，如果A80，C60，A80，B40，那么这两个三角形是否相似？为什么？,B=180 （A+C)=180 （80 +60 )=40 ,