1储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘 要本文通过分析地下储油罐罐内油位高度与储油量的对应关系，建立了罐容表标定的合理模型，用以解决储油罐变位识别与罐容表标定问题。对于问题一，按照无变位和有纵向倾斜角 分为两种情况建立模型。对于模型一，当储油罐无变位，油浮子高度为 时，利用微积分知识推导出储油容积的表达式。为H了检验该模型的优缺点，将附表 1 中无变位进油的油位高度代入模型，对比模型算出的储油容量与按照附表 1 所计算出的储油容量，算出两者的相对误差的绝对值大约为3.488%。可以看出，该模型相对误差较小，比较合理。对于模型二，当储油罐纵向倾斜角度为 时，根据油浮子高度不同情况把椭圆油罐体分为五个区域，运用计算曲顶柱体体积的方法，分别建立相应模型。当进行模型检验时，发现问题附件 1 所给的纵向倾斜时油位高度恰好在所划分区域的第三区域内，因此只需要用该区域的函数模型来检验，于是利用 Matlab 编程计算出附件 1 数据中液面高度对应的罐内储油体积，同时算出相对误差的绝对值大约在 2%5%，可见模型是科学合理的。在此基础上，利用该模型计算出了罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。对于问题二，针对储油罐罐身是圆柱体，两端是球冠的情况，同时考虑有纵向倾斜和横向偏转的情况。计算时将油罐体分为罐身和球冠两部分来处理，利用积分方法，推导出了准确的容积计算模型。考虑到油面高度不同会得到不同的模型，因此将问题分为两种情况。一是当倾斜和偏转后只有一端球冠有储油时，整个储油容积 为罐身总V储油量 V(H)球冠部分储油量 之和，即 ；二是当倾斜和)(1hV）（总 H)(1hV偏转后油罐的两端球冠都有储油时，整个储油容积 V 为罐身储油量 和两个球冠部)(分储油量 ， 之和，即 ，其中 （ ）是(1hV)(2 )(21总 ih21与纵向倾斜角度 和横向偏转角度 以及油浮子高度 有关的。利用二维搜索寻找一组 ，使每次实际的出油量与模型算出的出油量差值的平方和最小。最后算出,。在算出 后，即可确定油的体积与显示油高的关系，可算出模型出4.0;.2,油量和附表 2 的出油量间的相对误差的绝对值大约在 1%4%，则可给出罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值。经检验，本文中的模型都具有较强的可行性和推广性，对其它加油站测量进/出油量与罐内油位高度等数据参考价值，只要所给数据信息量足够、准确，模型求出的结果将具有更好的实际意义。关键字：储油罐的变位识别 罐容表标定模型 二维搜索2一、问题提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 =4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析储油罐的变位识别与罐容表标定问题，是在综合考虑无变位和发生纵向倾斜和横向偏转等变化情况下建立数学模型计算的数据与附表的数据进行对比，以获得较精确的测量方法。首先，针对问题一：我们分析了储油罐为椭圆型（两端平头的椭圆柱体）并且罐体不发生变位，为了简化模型，从油罐的侧面角度去看，则可以将所装油体积看成是底面积与油罐身长度的乘积，其中底面是椭圆的一部分，那么可以采用直角坐标下的二重积分来计算椭圆的面积。这样就可以算出所装油的体积。当罐体倾斜角为 =4.10的纵向变位时，这时体积就不是简单的规则的柱面体积求法。我们按照在不同区域所得模型不同情况下将油罐分为五个区域，然后采用曲顶柱体积的计算公式来求解相应模型。为了给罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值，必须把修正后每 1cm 代表的罐容求出来后重新标定值。根据题意把油浮子的高度分 5 种情况计算，可以建立以油浮子高度为自变量储油量为函数的分段函数模型，在油浮子的高度满足的范围内，分别计算出每 1cm 高度的罐容，再进行累加得到 1cm 至 120cm 的罐容标定值。其次，针对问题二，储油罐主体为圆柱体，两端为球冠体，那么在分析问题时也3相应的把模型分为两个部分：一部分为罐身，一部分为两端的球冠体。对于罐身，可以根据问题一发生变位的情况来建立模型；对于两端的球冠体，油面的情况不同就有不同的模型：当只有一个球冠有储油时，只计算一个球冠体的体积；当两个球冠都有储油时，为两端的球冠体体积之和。我们分析知，当倾斜角比较小时，一端球冠可以看成是水平放置时的情况，利用油浮子的高度与纵向倾斜角度和横向偏转角度的关系实现油浮子高度与最高点油面高度的转化。另一端的体积则是同油面高度和纵向倾斜，横向偏转有关。据此，我们建立了油面高度，纵向倾斜角度，横向倾偏转角度的关系。运用最小二乘法原理，通过变位储油罐参数估计的二维搜索算法，来估计 ， 的值。罐体变位后油位高度间隔为 10cm 的罐容表标定值时，利用建立的数学模型使油面高度从 0 开始以 10cm 的步长逐步增加，依次算出对应的容积，作出罐容标定表。三、模型假设1：假设题目给定的储油罐和附表中的数据具有代表性和现实性，可以作为模型计算的依据。2：假设储油罐的进油管和出油管内等管道的体积可忽略不计。3：储 油 罐 具 有 较 大 的 刚 度 ， 能 承 受 较 大 的 外 压 ， 适 宜 建 造 地 下 ， 不 会 因 环 境改 变 导 致 容 积 变 化 。4 储 油 罐 储 存 的 油 没 有 蒸 发 或 挥 发 损 耗 ， 空 气 不 会 对 油 发 生 氧 化 使 体 积 变 化 。四 、 符 号 说 明 ）部 的 距 离 （ 油 浮 子 高 度表 示 油 浮 子 距 储 油 罐 底:H；)(油 面 高 度高表 示 倾 斜 时 最 高 点 的 油h；表 示 所 装 油 的 横 截 面 积:S储 油 罐 的 身 长 ；l )2/78.1(;: maa椭 圆 的 长 半 轴 bb椭 圆 的 短 半 轴 次 进 油 后 油 的 总 量 ；表 示 附 件 一 中 第 iVi:1 次 进 油 后 油 的 总 量 ；表 示 模 型 计 算 结 果 第i2 ；表 示 模 型 计 算 出 的 体 积:的 半 径 ；表 示 问 题 二 中 所 旋 转 球r4对 误 差 ；模 型 的 进 油 总 量 间 的 相后 附 表 中 的 进 油 总 量 与次 进 油表 示 第 h:iri ;4.011 ）离 油 罐 一 端 的 长 （表 示 问 题 一 中 油 浮 子 距 mll 52:2 ）离 油 罐 一 端 的 长 （表 示 问 题 一 中 油 浮 子 距问 题 二 中 圆 的 半 径R;:纵 向 变 位 的 角 度： 横 向 偏 转 的 角 度；）表 示 问 题 二 中 的 身 长 （ mll 8: ;211 ）身 长 （表 示 问 题 二 中 油 罐 一 端 l6: 2 ）端 的 身 长 （表 示 问 题 二 中 油 罐 另 一l；体 积表 示 问 题 二 中 油 罐 冠 体油V的 冠 体 体 积 ；高 度 为表 示 问 题 二 中 最 高 油 面 11:)( hh的 冠 体 体 积 ；为问 题 二 中 最 高 油 面 高 度 22 ；表 示 问 题 二 中 的 出 油 量:V五、模型的建立与求解5.1 模型一的建立与求解5.1.1 数据预处理该题目给出的数据量比较大，我们先对附件1的无变向进油中的进油累加量进行处理，将其处理为每次进油完后油罐内该时刻的总油量。方便后面与计算出的油量容积作对比,进行模型优缺点评价。5.1.2 简化模型与计算油的体积针对此模型为两端平头的椭圆柱，其横截面为椭圆，长半轴为a，短半轴为b。为了简化模型，我们将横截面（椭圆）作为储油罐的底面，将储油罐的底面长度作为模型的高，因此，储油的容积（即体积）就可以看作椭圆柱的体积。我们以x轴与y轴建立直角坐标系。由截面椭圆的长轴和半轴，可以得到椭圆的方程为图151)(22byax在罐体无变位的情况下，设油面高为 ，我们从截面椭圆的角度去看整个储油罐，H就可以得到储油罐所装油的体积为油所占得椭圆的面积与储油罐的身长（即高）的乘积。截面椭圆有所占的部分的面积为： dxbbaSH022)(积分得到： 2arcsin2)(2bHbaS 那么油所占的体积为： lSHV1即为： 2arcsin2)()( 21 bbba 5.1.3 结果与误差分析现在，我们得出了油面高度和油的体积间的函数关系式，为了验证此模型是否恰当，我们在MATLAB软件中分别将油面高度代入 得到模型的储油量。因数据量)(1HV较大，下面仅给出前七次原始油量容积和模型结果的油量容积的对比数据：表1 模型一的储油量对比表原始的油量容积(L) 312.00 362.00 412.00 462.00 512.00 562.00 612.00模型结果的油量容积(L) 322.88 374.63 426.36 478.13 529.13 581.61 633.35对比上表中的数据可知，所给的每次加油后的总的进油量和模型计算得到的每次加油后的总油量相差值大约在1020升左右，据此，我们采用相对误差的绝对值来检验模型的合理性，即： 781%1021 LjVrjj6图 2 模型一中计算的储油量和附件1中的储油量对比图 计算出每次的相对误差都在3.488%左右。说明此模型比较稳定，误差较小。在探究罐内油位高度与储油量的对应关系时可以用此模型来计算。5.2 模型二的建立与求解5.2.1 数据预处理为了与模型计算的油量容积作对比，同样的，我们还是将变位的每次累加进油量处理成每次进油完后的总的油量。5.2.2 模型的建立与求解当罐倾斜角为 的纵向变位时(三维图形如图3)，若仍然采用模型一的求体积o1.4公式，就会有不合理的地方，那么，为了简化模型，考虑在倾斜角为 时，从正面角度看，将储油罐分割成五区域来看，如图47BAHozyx图 3 图 41.当油没有漫过油浮子的最低点（B点）时，即此时油浮子高度为零，但是此时储油罐内可能会有油的情况。则油面最高点的高度 ，因此，当油面高度在tan1lh时，油浮子上显示的油面高度为0，在此范围内，即使加进油了，却并没有)tan,(1l油浮子高度，就不在讨论范围内。2.当油漫过油浮子最低端且油面最低点未过储油罐D 点时（如图4区域二），即，此时斜面S可以看作一个平面去斜截椭圆柱，易求得该平面的方程为talH