1矩阵秩的相关理论的证明内容提要 在矩阵理论中，矩 阵的秩是代数学中一个非常重要的概念，在代数研究中有着重要的作用 ,它是研究线性方程组、向量空 间、欧式空 间、线性变换及二次型的一个有力工具。因而 ,了解矩阵的秩可以为更好地学习、研究代数方面打下基 础。本文主要是 讨论满 秩矩阵秩中常见的一些性质、定理及结论，并且从 Sylvester 公式出发，去探讨一个以刻画矩阵秩的完美公式，并且去得到相关的一系列的结果。此外还研究了方程组的解与矩阵秩的关系;最后，就矩 阵秩的证明方发及应用加以概括和总结。关键词 矩阵；矩阵的秩；行满秩阵；列满秩阵；Sylvester 公式；伴随矩阵一 、 矩 阵 及 矩 阵 秩 的 定 义1、矩阵的定义 数域 P 上 个数排成的 S 上 列的表 称为数域 P 上的 矩阵，nsnsnss naaaa.212211 ns记为 ,简记 A，也记为 ，即 A= 。nsnsijansij当 时，即 矩阵称为 阶方阵。如果 A,B 是同行矩阵（即行数相同，列数相同） ，且对应的元素相等，则称 A 与 B 相等，记为A=B.2.矩阵秩的定义 设 为 矩阵, 如果存在 的 阶子式不为零, 而任何 阶子式(如果存在的话)皆为零,则AnmAr 1r称数 为矩阵 的秩, 记为 .r)(r规定零矩阵的秩等于零.2当 , 称矩阵 为满秩矩阵,否则称为降秩矩阵.()minrAA二矩阵秩的相关性质及其推论推论设 是 阶方阵，则有, 。An12()().nnnrArA证 可以通过证明方程组 与 有完全相同的解得到结论成立。10X假设 ，左边乘以 后可得 ，即 的解是 的解10nX10n0nX10nAX反之假设 ，则必有A1A假设 则 个 元向量 线性无关，与题矛盾10nn11,nXAL因此，结论成立。从上述结论，我们可以知道 阶方阵的秩的多少次方都是相等的引理 设 是秩为 的 矩阵, 存在 1）可逆矩阵 , 使得 的后 行全为 0,ArmnPmr2）可逆矩阵 , 使 的后 列全为 0.QAn证 存在可逆矩阵 , , 使 . （1）PQ0rEA令 , 其中设 为矩阵 A 行的子块,121r有 .11200rrQEPA得到结论一成立再令 , 其中设 为矩阵 A 列的子块,121Pr有 ,112100r rEEAQP得结论二成立.从上述定理，我们可以知道任意一个矩阵与其它的可逆矩阵相乘，秩是保持不变。再来看下面的推论推论设 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 则AmnBns31）若 , 则 .rAnrB2）若 , 则 .A证 1）由上面的引理我们可以知道,存在非奇异矩阵 ，使 ,P10A又因为 的秩为 , 所以可得子块 阶非奇异矩阵.An1An是因此有 .110rBPrBrrAB2） , , .ns因 为 为 矩 阵 n且 s所 以存在非奇异矩阵 , , 为 n 阶非奇异矩阵Q1使 1因此有 11100rABQrAB得到上述结论成立。从上述推论我们可以得出结论：任意一个矩阵左（右）乘一列（行）满秩矩阵, 其秩是不变的;推论 设 , 是数域 上的 满秩矩阵, 存在数域 上的 阶可逆矩阵 , 使得 .1B2FmnFmP21B证 因为 是 列满秩矩阵, 所以存在 阶可逆矩阵 , 使得 ,1 1P10nE同理可知存在 阶可逆矩阵 , 使得 ,2P20nEB因此有 ,12推出 ,设 , 则有 .12P21BP得出结论成立。推论 设 是 阶实对称正定矩阵, 是 实矩阵, 则 是列满秩矩阵的充分必要条件为AmmnB正定.TB证 充分性: 由题 为正定矩阵 , T4则对任意的实 维列向量 , 存在 , n0X0TBAX即 , TBXA又因为 正定知 , 所以得 只有零解, 因此 , 即 是列满秩矩阵.rnB必要性: 因为 , 所以有 为实对称矩阵.TBATA又因为 是列满秩矩阵, 有 , 因此 只有零解.rn0BX所以对任意的实 维列向量 , 都有 , n0X因此有 , 即 正定.TXBATA得出结论成立三Sylvester 公式及其推论我们已经知道在矩阵论中，矩阵的秩是最基本的概念之一，它最早是由Sylvester引进的。而矩阵的秩是则是矩阵诸多数量特征中既抽象又本质的数字特征之一，它是矩阵在初等变换下的不变量。而关于矩阵的秩有一系列的不等式，但是在矩阵秩的等式当中Sylvester与Frobenius不等式是两个最基本的不等式，它们在矩阵理论中也占有非常重要的地位。我们先来看矩阵秩的一个基本结论是：设 是 矩阵， 是 矩阵，且满足 ,则有AsnBnm0ABrBn接着我们先来看 Sylvester不等式 定理（Sylvester（薛尔佛斯特）公式） 设 分别是 与 矩阵, 则 .,snrrn证： 由题有 00nnSmEEBA0nAnrr,nEAB又因为2,0EBrrA所以有 n即. rABrn在 Sylvester 定理中, 我们可以将 与 分别是形如 , , 的矩阵时, 可以得出更多的AkElkl结论:推论 1 设 mnAP,kl, l,则有 .()()()(rkrlnrAkEl证 将 l，分块矩阵及其广义矩阵进行初等变换可得： 00kEAElkll 有 ,00Arrkll即 .()()()(kEnAEl可得结论成立。推论 2 设 , 则有 . nAP2rrn=推论 3 设 , 则 .AE+有上面的推论，我们可以跟广泛一些，变可得下面的推论：推论 4 mnAP,kl, l,则有.20rAkErlnAklE证 由推论 1, 我们有rkrlrkEl20Al结论成立。定理 2（ Frobenius（佛罗扁尼斯）公式） 假设设 分别是 与 , 矩阵, 乘积 有意义, 则有,ABCsnmtABC3()()(rABCrBr证 设 是 矩阵, , 则存在 阶可逆阵 , 阶可逆阵 , 使得BnmnPmQ, 0rE把 适当分块, , 由上式有PQMSNQT,0()rEBM所以有 .()()()()rACNrANCrrB即 ()()()(rBr命题成立由 Frobenius 定理我们也可以得出下面的推论推论 设 为 阶方阵, 为任意自然数. 则 .Anm221()()mrArA证 我们对其 用数学归纳进行证明. 当 时, 不等式显然成立.0当 时, 由 Frobenius 公式知 ,1322()()rArA进而可得 ,不等式成立.23()rA我们假设当 时成立. 即:mt.221()(mrAtr又因为 31122()()()()tttrrrAtAt可得出 .23()(1)()trr即不等式对 时也成立. 1mk4所以结论成立。四矩阵秩在线性方程组中的应用推论 设 为 矩阵, 对任意 矩阵 , 由 可得 的充要条件是 （AmnnsBCABC()rAn的列数）.证 1）若 , 则矩阵方程 （ 为 未知矩阵, 为 阶单位矩阵）有解. 任取其()rXAEnmEn一解 , 则 , 于是对等式 左乘以 即得XKBCK,K从而得 .BC2) 反之, 若由 可得 , 则必 . 因若不然 , 设 . 则齐次线性方程组A()rAn()rAn必有非零解. 于是以非零解为列所得的矩阵 且0X 0B,C其中 . 即有 , 但是 , 矛盾, 因此必 .CABC()rAn注 同理, 由 (在矩阵可乘前提下 )可得 的充要条件是 的行数.B推论 设 为任意 矩阵, 为 未知矩阵. 则矩阵方程 必有解.mnXmX证 设 .若 , 则结论显然成立。()rA0r下设 .于是存在 阶可逆矩阵 使与 ,PQ,0rEA其中 为 阶单位矩阵.现在令rE,121rEGQP其中 依次分别为任意的 矩阵.122,G与 (),()nmrnr与于是有512100rr rEGEEAGPQPQ= 1200rr r= .rEPQA从而 为矩阵方程 的解.GAX注 从以上证明还可知, 当 时, 矩阵方程 不仅有解, 而且有无穷多解.()()rmrn或 AX推论 设 分别为 矩阵, 而 为 未知矩阵. 则矩阵方程 有解,BC,nst与 sAXBC的充要条件是:.(),)()BrACr且当 时, 矩阵方程 有惟一解.(),)()BrACns且 AXC证 （1） 设 有解.今任取其一解 则有 . XBXK由此可知, 矩阵方程 分别有解:AYCZB与,ZA于是 .(),)(rrC反之, 设以上二等式成立, 则由前面的结论知, 矩阵方程 有解. 各任取其一YZBC与解, 设为 , 则有12YKZ，12,AKCB又由上题知, 矩阵方程 有解, 任取其一解 , 于是有BXXGG再由、可得 112()()()AKBCKB6,22()KBGC即 是矩阵方程 的解, 从而方程 有解.1XKGAXCAX（2）证解的惟一性.在假设条件下, 方程 有解.设 为其任二解, 有B12K、,1,ACB从而 都是矩阵方程 的解.但由于12AK与 Y,()rs故其解是惟一的, 因此 .从而12AK=.12()0这说明, 矩阵 的每一列都是齐次线性方程组 (这里 为 未知矩阵)的解, 但12AX1n由于 ,(),)rACn故 只有零解.因此0AX.12120,KK即矩阵方程 的解是惟一的.BC五矩阵秩的证明方法总结在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解得情况都有密切的联系。矩阵的秩的内容丰富，其应用十分广泛的，不仅仅在数学中有应用，而且在控制论及信息处理技术等等其他学科中得到广泛应用，并且随着越来越多的国内数学家的努力与研究，矩阵的秩将会有一个更大的发展空间。证明矩阵秩的有关理论，有许多方法。若充分利用分块矩阵来证明，虽然带有一定得技巧性，但并不难想，尤其是，这种方法的证明本身显得十分简洁，而且方法也很统一，具有极大的优越性。不等式的证明可以转化为证两个相关联的分块矩阵等价，而后者可由适当的初等变换来证明。除了用分块矩阵以外，它可以用行（列）向量组的极大线性无关组来证，用矩阵