第二章 函数与极限函数是高等数学研究的基本对象，极限是研究函数的主要工具，在后面的几章中可以看到，微积分中的重要概念都是通过极限来定义的。函数的连续性则是与极限概念紧密联系的一个重要概念，它是函数的一个基本属性。本章将在初等数学关于函数概念的基础上进一步深入研究函数的性质，分析初等函数的结构，介绍极限的概念、性质及运算法则，在此基础上建立函数连续的概念，讨论连续函数的性质。第一节 函数一、函数的概念1函数的定义在某一变化过程中，数值保持不变的量叫常量，可以变化的量叫变量。在圆的面积公式 中， 是常数，而半径 是随圆的大小而变化， 又随 的2ArrAr变化而变化.因此 是常量， 和 都是变量。如果在某个变化过程中有两个变量 、 ，对于 在某个范围内的每一个确定的值，xyx按照某个对应法则， 总有唯一确定的值与之对应，那么 叫做 的函数，记为yy()f其中 叫做自变量， 的取值范围叫做函数的定义域，记为 D。xx当 在定义域 D 内取定值 时，与 对应的 的数值称为函数在点 处的函数值，00xy0x记为或0()yf00xy当 遍取 D 中的一切数值时，对应的函数值的集合x(),WfD叫做函数的值域.例 1 设 ，求2()3fx01(0),()1.2ffxa解 由函数的定义可知 ； ；2(0)3f21342f； 0x 22()()5.faa函数 中的符号“ ”表示 与 之间的某种对应关系.如圆的面积公式中的()yffxyA 与 之间的对应关系可以表示成 ，即 有时为了区别不同的函数，r ()Ar2().fr函数也可以记为 、 、 等.()yFxgst具体给出 的表达式叫做函数的解析式。如 ， 都是解析式.f sinyx2Ar在函数的定义中有两个要素：（1）自变量的取值范围，即函数的定义域；（2）确定自变量 与因变量 之间数值的对应关系。xy由此可知，只有当两个函数的定义域和对应关系都相同时，这两个函数才称为相等.例 2 判定下列各对函数是否相等：（1） 与 ；()fx2()gx（2） 与 ；()sinfsin（3） 与x22()ico.gxx解 （1）因为 与 的对应关系不同，所以这两个函数不相等。f（2）因为 与 的定义域不同，所以这两个函数不相等。()x（3）由于 ，因此这两个函数的定义域和对应关系都相同，故22sinco1与 相等，即 。()fxg()fxg2函数定义域的求法确定函数的定义域通常有两种情形：（1）在实际问题中，函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.如在圆的面积公式中的半径 不可能是负数，所以我们可以认为函数 的定义域为r 2Ar0,.D（2）用解析式表示的函数的定义域，是指使得函数有意义的自变量的取值范围，这种定义域叫做自然定义域.例 3 求函数 的定义域.1yx解 显然，在 中，当且仅当 ，即 时，表达式才有意义.因此，函数1x10x1x的定义域为 ，或用区间表示为(,)()U注意 函数表达式中如果有分式，则分母的值不能为零.例 4 求函数 的定义域.21yx解 要使函数 有意义，必须同时满足负数不能开方和分母不能为零两个条件，即2(2)10.x由不等式组或0,1x,x解得 或2.因此，函数的定义域为 (,)(,)U注意 函数的表达式中如果有开偶次方根，则根号内所含式子的值必须大于或等于零.例 5 求函数 的定义域.1lg(1)arcsin3xy解 要使函数 有意义，必须使右端的两个表达式同时都有意义.故 应满足条件x01.3x解得,24.x因此，函数的定义域为 ,1)注意 函数表达式中如果有对数符号，则真数必须大于零；反正弦函数 或反arcsinu余弦函数 中应使 .arcosu应当指出，根据函数的定义，对于定义域内的任一 值，函数 仅有一个确定x()yfx的值与之对应，这类函数称为单值函数.如果对于定义域内的任一 值，函数 有两()f个或两个以上的确定值与之对应，这类函数称为多值函数.例如，函数 是单值函31yx数，而函数 则是多值函数.21yx今后，如果没有特别说明，我们所提到的函数都是单值函数.二、分段函数在工程技术和经济领域的实际问题中，常常会遇到一个函数在自变量不同的取值范围内是用不同的式子来表示的。 例如函数 2,0;()1xf是定义在区间 内的一个函数（如图） 。 ,在函数定义域的不同范围内，用不同的解析式来表示的函数叫做分段函数，使得分段函数的定义域分成几部分的点叫做分段点.值得注意的是，分段函数尽管在不同的区间内用不同的解析式，但它表示的是一个函数.因此，在画分段函数图象时，必须画在同一坐标系内.在求分段函数的函数值时，应把自变量的值代入对应的解析式中进行计算.例 6 作出分段函数,0;()xf的图象，指出分段点，并求 . (1),2f解 图象见图， 为分段点.0x因为 时， ，所以 ； ()f1()xf当 时， ，故有 .0x()fx2()xf例 7 已知函数21,;().fx（1）在 处函数是否有定义？为什么？x（2）求 的定义域，并找出它的分段点；()f（3）求 ；（ 4）画出函数 的图象 .3,0()2ff()fx解 （1）因为 不在函数 的定义域内，所以函数 在 处没有定义.1xfx()fx1（2） 的定义域为 ；分段点是 和 .()fx2,1)(,2DU1x（3）因为 在区间 上，所以函数值由表达式 确定，因此2, 2()f2()13f因为 在区间 内，所以函数值由0x(1,)确定，因此2()f2()10f因为 在区间 内，所以 32x(,23514f（4）函数 的图象如右图所示。 ()fx三、 函数的基本特征 1单调性 如果对于某区间 I 内的任意两点 ，当 时，12,x12x有 （或 ） ， 12()fxf12()fxf则称函数 在区间 I 内是 单调增加（或单调减少）的，有时也称为单调上升（或单调下降） ，如图所示. 使函数 保持单调增加或单调减少的区间 ()fx称为单调区间；单调增加的函数和单调减少的函数统称为单调函数.例如，函数 在 内单调增加，在2yx(0,)内单调减少.又如，函数 在 内是单调增加的.(,0)3yx(,)2奇偶性设函数 的定义域 D 关于原点对称 .如果对于任意 ，都有()fx xD （或 ） ， ()fxf()(fxf则称 为偶函数（或奇函数） 。()fx偶函数的图形关于 轴对称；奇函数的图形关于原点对称。y例如， 当 为奇数时为奇函数，当 为偶数时为偶函数.又如， 为奇nnsinyx函数， 为偶函数，而 都是非奇非偶函数.cosyx31,cosyxx奇、偶函数的运算满足下述规律：（1）偶函数 偶函数 偶函数；（2）偶函数 偶函数 偶函数；（3）奇函数 奇函数 偶函数；（4）奇函数 偶函数 奇函数.3周期性设函数 的定义域为 D.如果存在正数 T，使得对于任意的 ，有 ，()fx xDT且 ， ()(fxf则称函数 为周期函数，T 称为 的周期.()fx当 f(x)是周期函数时，有，()(2)()fxTffxnTL因此， 都是 的周期.但是，我们通常所说的周期函数的周期是指最小正,2,TnLf周期（如果存在的话）.例如，函数 的周期为 ；函数 的周期为 .si,cox2tgx下面给出一个有用的结论：若周期函数 的周期为 T，则函数 为()f (),fx常数， 是周期为 的周期函数。例如，函数 是以 为周0)Tsin(43)yx24期的周期函数.如果函数 的周期为 T，则在其定义域内长度为 T 的区间上，函数图形有相同的()fx形状。4有界性设函数 在区间 I 上有定义 .如果存在正数 M，对于任意的 ，其对应的函数值()fx xI都满足不等式， ()fx则称函数 在区间 I 上有界 ，或称在区间 I 上 是 有界函数.若这样的正数 M 不存在，()fx ()fx则称函数 在区间 I 上无界 ，或称在区间 I 上 是 无界函数.例如，函数 对于定义域 内的一切 ，都有sin,arctyxx(,)x，i1,tn2因此，函数 在 内有界，而函数 在 内无界.事实sin,arctyxx(,)1yx(0,)上，因为当 的取值越接近于 0 时，函数 的绝对值就越无限增大，即不存在正数1yxM，使得 .1x四、反函数设函数 的定义域为 D，值域为 W，如果对于 W 中的任意一个 值，按()fx y可以唯一确定 D 中的一个 值，那么就建立起一个由 W 对应到 D 中的新的函数yx关系.记为 ，叫做 的反函数.1()xfy()f习惯上用 表示自变量， 表示函数，为了保持一致，记反函数为 ，它的1()yfx定义域为 W，值域为 D.根据反函数的定义，如果 是 的反函数，那么 也是1()yfx()yf ()f的反函数（互为反函数）.1()yfx例 8 求函数 的反函数，并在同一直角坐标系中画出两个互为反函数的图象.21yx解 由 解出 ，可得 21yx(1)2y所求的反函数为 ()x函数 与反函数 的图象如图所示.21yx1()2yx从图中可以看出，函数 的图形与反函数 的图形是关于直线1()2yx对称的.这个结论对于一般的函数都成立，即函数 的图形与它的反函数yx f的图形是关于直线 对称。1()fyx利用这个结论，由函数 的图形就很容易作出它的反函数的图形 .()f注意 并不是任何一个函数都存在反函数.例如，函数 在定义域 内就不2yx(,)存在反函数.事实上，函数 在 内的 是一个双值函数 ，2yx(,)y.但是，在区间 内， 有反函数 ；在区间 内，0,)y0,)2yxy(,0)有反函数 。所以我们有2xy反函数存在的定理 若函数 在区间 I 上是单调函数，则它的反函数存在，而 ()fx且也是单调函数.五、 复合函数、初等函数1基本初等函数我们把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.现将一些常用的基本初等函数的定义域、值域、图象和特性列表如下。2复合函数在实际问题中，遇到的函数往往是由几类基本初等函数经过一些运算构成的.例如，在简谐振动中，位移 是时间 的函数yt，0sin()yAt其中，A 为振幅， 为角频率， 为初相位.它就是由线性函数 与正弦函数0 0ut复合而成的复合函数.sinyu设 是 的函数 ，而 又是 的函数 .如果 的值域包含在()yfux()x()x的定义域内，那么，