第一章 习题答案与提示：第一节1 ,2,4 2 )(,Zkk当 210a时， a,；当a时， 3 ,1 4 1, 5B 6D7 xy1xey 8 xgf)(， 4,0； xfg)(，6,09由得 1，函数的定义域关于原点对称，)(1ln)(xfxf，奇函数 10 （1）由 2得 12，有界 （2）01x有下界、无上界、无界（3） 0x，由函数图像可知 0log2x，有上界、无下界、无界11由 )(f是奇函数， 2)()()ffx， 0,112 11(1f ， R第二节1 （1） 2； ； 0 （2） 4 （3）2 （1） 0 （2） 5e （3）0 （4）原式1)!(1lim)!(!limnknnk（5）原式21lim222li nnn L（6）原式nn)3()1(li，由 )1(li不存在，原式的极限不存在3 nx有界 0M，对任意 有 Mxn；由 0liny， ， N，当N时，y；于是当 N时，4分别用数学归纳法证明 2nx和数列单调增加，得极限存在，对 nnxx21两边取极限得 limnx5由数学归纳法证明 10n， 0)1(1nnx，数列单调递增， 极限nli存在，设为 A，对2x两边区极限得 2A；解得 1limnx（0A舍去）6 )(子数列 na2和 12n的极限等于原来数列的极限)(由 122limlikkaa， 0， K，当 k时， ak2和k12，取 KN，则当 Nn时有 n，于是 anlim7 B 8 B第三节 函数极限1D 2 b， 1， 13 0，取 4 )0()(xf5极限不存在6极限不存在 7当 1a时， 1limf；当 a时，极限不存在8 （1） 2 （2） 0cosx （3） 1n （4） 2e （5） 62（6） （7） 当 k时， 2)(li0xf；当 k时， )(li0xf不存在9 a， b10 设 nnnxn 222 sisi1si L，则 1iix，易知两端数列的极限等于 ，于是nxlim第四节 无穷大与无穷小1 D 2 C 3 B 4. B 5 （1） )(xf在 1,0内是无界函数， 0M，1,0)2(xm使得Mfm)2()2cos(；（2）取,)(n，则nx时， )()(nnxf ，由海涅定理， li0xfx不存在；（3）取 10，则 ，,0)21(，而 10)(xf，从而)(lim0xfx。6极限不存在 7 （1） 4 （2） 35（3） 1 （4） 1 （5） 1 （6） 1（7） 原式=)(0lim0nxn（8）原式=nmxnmx )1(si)1(li844lii)li 20420 axaax9 sn是有界变量， k必须是无穷小，从而 0k9 xxP32)(3第五节 函数的连续性1 A 2 C 3 A 4 （1） 10)(xxf， 是跳跃间断点。（2） )(xf在定义域 ,20Lx内连续；由 )(lim0fx， 2)(li1xf，lim1x， 1,是 )(f的可去间断点；在其他整数点时， sin是无穷小，)(2不是无穷小，从而是 的无穷间断点。（3） f在 ,0,内连续， 0x是 )(f的跳跃间断点。 （4） 在 上连续。 5 （1） e （2） 1e （3） 3e （4） ln6 axxoaxoaxFxx sinlm)(lisin3)(lim)(li 0000，于是13a， 2。第六节 闭区间上连续函数的性质1 C 2 B 3 令 2)(f，应用零点定理4令 ()xf，在区间 1,0上应用零点定理 5令 xfxg)(，于是ag， )(bfg，若取等号， a或 b，否则应用零点定理6令 ，在区间 a,上应用零点定理 7 f在nx,1上连续，有最小值 m与最大值 M，则Mnxfxff n)()(21L，由闭区间上连续函数的连通性定理可得8由 Afx)(li，对 1， aX，当 x时， 1)(Af，即f)(；在闭区间 a,上连续，由有界性定理， 0， Xax,，有)(xf，令 1M，则 ,x， xf)(第一章测验题一1 D 2 C 3 C 4 A 5 A二1 2 2 2 3 ,0 4 122xx 5 2三1 6 2 1 3 21e4 1 5 3 6 1e7 不存在8 0k时，极限为 ； k时，极限不存在四 )(xf的间断点是 x， ln； 0x是跳跃间断点， 2lnx是无穷间断点.五由 )(limfx，对 1A， aX，当 时， 1)(Af，于是01X，又 0)(f， )(xf在 1,上连续，由零点定理知：,a，使 六 xefsin)(； 是可去间断点， ),2(Lk是第二类间断点七 2八1 4a， b 2 1， 4b九 （1） 10, 时， 10sin,x 所以 nx是有界数列. 显然，2x， 设 nx，则 1 2i.nx所以 是单调递减数列. 所以极限存在，等式二边取极限得极限为 0. (2) 6.e第一节 导数的概念1 （1） )(0xf（2） )(0xfa2 k 3C ，D4 （1） 连续，不可导 （2） 不连续，故不可导5 0xdm6 切线方程为 eyx；法线方程为 012eyx7 2a，20b8 )(f的不可导点是 0和9可导。先判断 )(f在 处的连续性，再用定义分别求得 点的左右导数都等于010 xffxffxfxf xx 1)(lim)()(lim)(lim)( 000fffx 第二节 导数的计算1 32ln6x 2 1 3 2lnx4 15 （1） （2） 24si()cos()qq（3）3in2 6sec()xxxe（4）2321x（5） 21v（6） 2cos4ia（7） sinco(s)x（8）1tan22 1(secios)xx（9）1322()()xxee（10） 2() （11）2133sincosln1xxa（12）21loglnx（13） 22x （14） 11lllaa xxaxa（15）12lsecaxa（16）21()x（17） tanx6 22si(i)(cos)ff 7 2()21)()xfx8令 )310gxL，则 fg，得fxxg ，于是 9!0fg9当 0时，2()ef；当 x时， ()1.f 10 2()1tfe 11 9/ms 12用导数定义， ()2()fag13 （1） ()()yfxff （2）2 2xxxyeef 14 第三节 高阶导数1 （1） 24sincos4cos2lxx （2）32(1)x2（1） ()()()f f3 (0)22095xye 4 11!()2)(nnnnyx5()14cos()nn612a， b， 0c720xf， （判断 ()f及 0f时，须用定义分别计算左右导数）8证明略第四节 几种类型函数的求导方法1 ye 2 3bxayb 32ln84 370x， 90 5 （1）cosxyde（2）2()()dyxfyfx（3）dyx6 （1）sin1(lcosin)x（2） 2354)2341( 15()()5()(5)(dyxxxxx 7 （1） 3cos(in)y （2） 3ye8 （1） 3 （2）dtx， 2()ft 9 20xy 10(2)0xya11设经过 t秒钟后船与人的距离是 s米，人行走的距离是 米，船航行的距离是 米，则220sxy，两边对 t求导可得ddttt， 5时， 1，3，7，并将2dxt，43y代入方程得，26(/)tsms12 （1）(/min)2（2） 1 2(/min)第五节 函数的微分与线性逼近1 0.4 . 2 0 3必要非充分 4 2ln1xC2(sincos)xex5 B 6 A 7 D 8 B9 2tdy 10ln()2xydd11 ()0.5f12线性主部是 2()fx 13 2第二章测验题一、1 2 2 充要 3 5 431arctnsixeC5 (lncosin)xx二、1 D 2 C 3 A 4 D三、141()ye（或23(2)yyex） 2214dytx320()1sinicosxfxx4 00()()fxf5 ()()nxfe 622(sinisindFf x7 1ab，cos0()1xfe8 223(arctn)9xxdyd9 sin(co)lcsinta)x 10 (1)f四、 （1）用 ， h， 分别表示 t时刻梯子下端与墙的水平距离，上端与地面的垂直距离及梯子与墙面的夹角，则 25，两边对 t求导得20dxhtt，将 3x，4h及0.5dxt代入得：0.37dt； （2）sin5，两边对 t求导得1cos，将 0.5，.xdt代入得：dt第三章 习题答案与提示第一节 微分中值定理1 否 22 是 9143 1 4 B 5 D 6 C7令 xxfarcosrsin)(，于是当 ,时，0122，于是 Cxf)(，)(f得 2)(xf；当 1