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高等数学作业答案(2012-2013-1)第 1 页/共 19 页第一章 函数、极限与连续1.1 函数1、 (1)(2) (3)2、(1)不同,定义域不同;(2)不同,对应法则不同3、 (1),(21),2,(1)kkkU;N(2) 时 ; 为空集aa, 4、 (1)奇;(2)奇;(3)奇.5、 (1) (2)xyln1xy6、 (1) ;cos,5u(2) ;e,yx(3) ;3,sinuv(4) arcsil,21yx7、 (1) ;1()xfg(2) ;2fx(3) ()tan(31)g8、略9、 2,()kk10、 sinx11、 .()1fx1.2 极限1、(1) ;(2) ;3 n 0n (3) 极限不存在; (4) 极限不存在2、(1) 例: ,1()0xf()g(2) 例: ,()1fx0()g3、(1) 极限不存在;(2) ,2arctn x ,时, 的极限不存在;xxarct(3) ,11 xeex ,时, 的极限不存在x4、 ;0limx当 时, 左、右极限不一样,()x极限不存在5、 ; 不存在.0li()xf1li()xf1.3 极限的运算法则1、2; 2、0; 3、 ; 744、 5、 6、12高等数学作业答案(2012-2013-1)第 2 页/共 19 页7、 .1,3ab8、 2,81.4 极限存在准则 两个重要极限1、(1) ;(2) ;(3) ;(4) 1;(5) 0;e2-2e(6) ;(7) ;(8)2 ;(9) ;(10) .35ax2、1 3、 .lim2n1.5 无穷小与无穷大1、 (1) 时是无穷小; 时是无穷大.x0x(2) 时是无穷小; 时是无穷大.1(3) 时是无穷小;()2k时是无穷大.x(4) 时是无穷小; 以及10x时是无穷大.x2、 (1)既不是无穷小,又不是无穷大;(2)前者是无穷小,后者是无穷大.3、 (1)错(2)正确(3)正确(4)正确(5)错例:当 时, 与 均是无穷小,0x2x但商为无穷大(6)错例:当 时, 和 均是1无穷大,但其和为有界函数(7)正确4、 ,理由:无穷小的倒数是无穷大.5、解:(1) ,取 ,0M2(0,)nxn此时, . 当 充分大时,()2nfxn. 所以无界.M(2)取 ,此时,(0,)2nx. 故 . 所以,()0flimnnfx时 不是无穷大()fx6、(1) ;arct(2) 时等价; 时同阶;eea(3) 同阶; (4) 同阶7、(1) ; (2) ; (3) 6n1n, 12m8、 (1) (2) (3) 121.6 连续函数的概念与性质1、连续2、(1) 是可去间断点, 是无穷间断点.x3x(2) 是可去间断点.0(3) 是第二类间断点, 是无穷间断点.1(4) 是无穷间断点.1x(5) 是跳跃间断点, 是无穷间断02x点.(6) ,)()(,)( 0101fff 第一类跳跃,0x3、(1) a(2) , eb高等数学作业答案(2012-2013-1)第 3 页/共 19 页4、 3ab,5、(1) ;(2) 0;(3) 1/2;(4) 0;12lne(5) ;(6) (7) (8) 1l2l32e6、解:令 ,显然5()fx.()0,1fC,由零点定理知,至()0f少存在一点 使得 ,原即方程在 0 与 1之间至少有一实根 证毕7、 2,1ab8、证:易知 设1(),nfxC, ,则1,minx1,a()nxMf.(),ifiL于是有 12()()nfxffxnM在 上使用介值定理得:在 内至少1,n 1,n存在一点 使 证毕12()()nfxffxfL综合练习题一1、3()1,0,),.xf 2、证:当 时, 0x1()cafxbfx联立得: 22()()cfxfx.2afb又 ,显然 是奇函数. 证毕(0)f()fx3、D 4、证: 00lim()lixxfxx0li()f在 处连续 证毕f5、 (1) (2) (3) .(4) (5)1xan2e(6)0 6、 17、 是无穷间断点; 是可去间断点;xx是跳跃间断点.08、解: 21,|0lim,nnxfx(是函数的跳跃间断点.1在点 处连续.x高等数学作业答案(2012-2013-1)第 4 页/共 19 页 9、 (1) , (2) .0ba110、 (1) (2) (3)11、证:令 ,则()Fxf.(),xCab易知, .,min(),a()bfxfx()0,0FF若 或 ,则取 或 均a()a可.否则 ,由零点定理知至少()0,()Fb存在一点 ,使 ,即a0F.()f无论哪种情况点 都存在. 证毕 12、证:由 在 上连续,得 在()fx,ab()fx上一定存在最小值和最大值,分别记为,ab和 .于是有:tT()( ()mntfcfdmTnn由介值定理得:在 上必存在点 使,ab,再移项得证 证毕()(fcfdfmn13、证:在极坐标系下建立温度函数为,显然有: . 温度()T()2)T在圆环上非均匀连续分布,于是有 0,2C设 ,当()()LT时, . 在,2()T上连续, 在 上连续.2()0(0)()LT(2)T)02(0()0L若 ,则问题得证.)T否则就有 ,由零点定理知,()至少存在一点 ,使得 . 即:0,()0L. 证毕()T第二章 一元函数的导数与微分2.1 导数的概念1、 (1)-20 (2)12、 (1) (2) (3)(0)f0()fx02()fx3、 4、 ,ab1,y5、证法一: 00()()()limlixxfff 高等数学作业答案(2012-2013-1)第 5 页/共 19 页00()()()limlitxxfftff (因为 为偶函数)0()li()()tffft(因为 )0ff. 证毕()()证法二: 00()()limli(0)xxfff00()lilimxxfff. 证毕()f6、证:函数 在 处连续()fx00li()xf存在0limx0li()xff存在 存在()f在 处可导. 证毕2.2 函数的求导法则1、 (1) yxxlnl2(2) -()(3) 2cosixxy(4) ()3(1)31x(5) 2cosin()xy2、 (1)-2 (2) (1)43、(1) (2)38(5yxsin(43)yx(3) (4)2a2(5) (6) rctn1xey1()yx(7) s(8) 11incosinsiconyxxx(9) ()4、证:(1)设 为偶函数,且可导,下证(fx为奇函数.()fx,00D00()()limxfxf00()lixff x0 000()()lilitx txtfft0m()tx fx所以, 为奇函数. 证毕()f另一个同理可证.(2)设 是以 为周期的周期函数,且可导,()fxT下证 也是以 为周期的周期函数.,00D高等数学作业答案(2012-2013-1)第 6 页/共 19 页00()()limxfxf00()lixTfTf x00()lixTtftf. 证毕00lim()txffx5、 4(3),6(1) (2)-2ttye21xy2.3 高阶导数1. (1) (2) sincosx(7)ex(3) 23(1)y2(1) (2) !n.xe(3) .11si2ny(4) ()1!nnx3. (1) (2)23.y2e.2.4 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数1、(1) (2) cosinicosint2、 3dyxt3、 (1) (2)2.ayyxysinco()4、 (1) sin1eecot2(1)xxx2(2) tan 2an()sl()x x2.5 函数的微分1、参考答案:(1)可导与可微是等价的,即存在性是一样的.(2)导数和微分是两个完全不同的概念. 导数 是一个数;是函数在该点处的变0()fx化率;是曲线 在点 处的切()yf0,()xf线的斜率. 微分 是函数dy在点 处增量(改变量)的线性主部,是()fx0的近似值,是 的线性函数;是曲线yx在点 处的切线的纵坐标在0(,)f点 的改变量.02、(1) (sin2cos)d.xx(2) (3)231)ln1.(3、 (1) (2)xCcosx(3) (4)sin21eC(5) (6)1l()xlnx4、 5、d32.6 微分中值定理1、方程 有且仅有三个实根,它们分别()0fx在区间 内.,23)高等数学作业答案(2012-2013-1)第 7 页/共 19 页2、证: ,由零点定(0)1,()10ff理得,函数在 内至少存在一零点. 下证函数在 内不可能有两个及以上的零点. (,)(反证法)不妨令 是函数的两个120x零点,即 . 1()ff,由 Rolle 定理得:至少存),fxC在一点 ,使得 . 而实际上,(0)()0f在 内无实根,矛盾. 2)3fx,1证毕 3、证:原不等式等价于: ln1.ab令 ,显然 在 上连续,()lnfx()fx,内可导,由 Lagrange 中值定理得:至少存,ba在一点 ,使得 .(,)ln1()abf又 ,于是有:10ba,整理变形即可. 证毕1lnb 4、证:显然 是方程的两个实根.0,1x令 ,则 .2()f1(),)fC, ;156f由零点定理得,原方程在 内至少存在一实(4,5)根. 下证原方程不可能有四个及以上实根.(反证法)不妨令 是方程的 41234xx个实根,即 .()()0ffff分别在 上使用 Rolle 定理1234,xx得:在 内分别存在点()()使得 对函123,123(0.fff数 分别在区间 上使用 Rolle()fx,定理得:在 内分别存在点123,)(使得 对函数 在12,20.ff()fx区间 上使用 Rolle 定理得:在 内 12,存在点 使得 而().f无实根,矛盾. 故原方程有且3()2lnxf仅
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