数学分析课程简介课程编码:21090031-21090033课程名称：数学分析英文名称：Mathematical Analysis课程类别：学科基础课程课程简介：数学分析俗称：“微积分”，创建于 17 世纪，直到 19 世纪末及 20 世纪初才发展为一门理论体系完备，内容丰富，应用十分广泛的数学学科。数学分析课是各类大学数学与应用数学专业、信息与计算科学专业最主要的专业基础课。是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯，是数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程基本的内容有：极限理论、一元函数微积分学、级数理论、多元函数微积分学等方面的系统知识，用现代数学工具极限的思想与方法研究函数的分析特性连续性、可微性、可积性。极限方法是贯穿于全课程的主线。课程的目的是通过三个学期学习和系统的数学训练，使学生逐步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想和方法，培养与锻炼学生的数学思维素质，提高学生分析与解决问题的能力。教材名称：数学分析教材主编：华东师范大学主编（第四版）出版日期：2010 年 6 月第四版出版社： 高等教育出版社 数学分析 1课程教学大纲（2010 级执行）课程代号：21090031总 学 时：80 学时（讲授 58 学时，习题 22 学时）适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：本课程不需要先修课程，以高中数学为基础一、本课程地位、性质和任务本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。通过本课程的教学，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。二、课程教学的基本要求重点：极限理论；一元函数微分学及贯穿整个课程内容的无穷小分析的方法。基本要求：掌握极限、函数连续性、可微等基本概念；掌握数 列 极 限 、 函数 极 限 ；闭区间连续函数性质；熟练掌握函数导数、微分的计算及应用；掌握微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 。三、课程学时分配、教学要求及主要内容(一) 课程学时分配一览表学时分配章节 主要内容总学时 讲授 讨论 习题 实验 其他第-章 实数集与函数 4 4第二章 数列极限 14 8 6第三章 函数极限 16 12 4第四章 函数的连续性 12 8 4第五章 导数和微分 12 8 4第六章 微分中值定理及其应用 22 14 8(二) 课程教学要求及主要内容：第一章 实数集与函数教学目的和要求：1、了解函数的基本概念、初等函数的定义；2、掌握函数的表示形式及简单特性。3、掌握上、下确界定义、确界存在定理；教学重点和难点：上、下确界定义、确界存在定理，两个常用不等式。教学内容：1、介绍数学分析课程涉及的有关集合的一些基本概念和问题；2、介绍函数、初等函数的定义；函数的表示形式及简单特性；3、两个常用不等式。4、上、下确界定义、确界存在定理；第二章 数列极限教学目的和要求：1、熟练掌握数列极限定义；2、掌握收敛数列的性质；3、掌握数列极限存在的条件教学重点和难点：数列极限的定义，单调有界定理、Canchy 收敛原理。教学内容：1、数列及数列极限定义；2、收敛数列极限性质；3、单调有界原理；4、Canchy 收敛准则；第三章 函数极限教学目的和要求：1、熟练掌握函数极限定义、性质及计算；2、掌握函数极限与数列极限关系；3、掌握函数极限存在的条件；4 、熟练掌握两个重要极限；5、掌握无穷小量与无穷大量的定义及无穷小量比较；6、了解曲线的渐近线教学重点和难点:函数极限定义、函数极限与数列极限关系、两个重要极限、Canchy 准则。教学内容：1、函数极限的定义（两种情形） 、性质及计算，2、函数极限存在的条件（归结原则、Canchy 准则）3、 两个重要极限3、无穷小量与无穷大量及无穷小量的比较；4 、曲线的渐近线第四章 函数的连续性教学目的和要求：1 、掌握连续函数定义；2、了解间断点及其分类3 、掌握闭区间连续函数性质、4 、了解一致连续的定义。5、了解初等函数的连续性教学重点和难点：连续函数的定义、闭区间上的连续函数性质、一致连续的定义。教学内容：1、连续性概念2、间断点及其分类3、闭区间连续函数性质4、一致连续的定义5 、初等函数的连续性第五章 导数和微分教学目的和要求：1、了解微分、导数定义的导出背景，2、熟练掌握导数定义.2、熟练掌握求导基本公式，复合函数求导法则，隐函数求导法则.3、掌握高阶导数定义及运算法则.教学重点和难点:导数定义、复合函数求导法则.教学内容：1、微分定义的导出背景；微分的定义及其意义；2、产生导数的实际背景；导数的定义及其意义；3、微分与导数的四则运算；反函数求导法则；微分与导数的基本公式；4、复合函数求导法则；隐函数求导法则；参数方程求导法则；5、高阶导数的实际背景；高阶导数的定义；高阶导数的运算法则。第六章 微分中值定理及其应用教学目的和要求：1、掌握微分中值定理.2、熟练掌握 LHospital 法则 .3、理解泰勒公式及应用；4、理解极值、凸性的定义；5 、掌握函数极值与最大(小)值求法6、掌握函数图像的描绘。7 、了解方程的近似解教学重点和难点:Rolle 定理，Lagrange 中值定理、 cauchy 中值定理、 LHospital 法则. 函数的极值，泰勒公式。主要内容：1、微分中值定理（Fermat 引理，Rolle 定理，Lagrange 中值定理 cauchy 中值定理）及其应用；2、待定型的定义；Lhospital 法则；各种待定型极限的计算。3、Taylor 公式及其应用；4、极值、凸性的定义；最值问题5、函数作图；6、简单介方程的近似求解法。四、使用教材与参考书目；建议使用教材：华东师范大学数学系编数学分析第四版. 高等教育出版社（2010）教学参考书：1 陈传璋、金福临、朱学炎，欧阳光中数学分析（第二版） 复旦大学数学系高等教育出版社（1983） 。2陈纪修、於崇华、金路等编数学分析第二版，高等教育出版社（2004） 。3 斐礼文数学分析中的典型问题与方法。4菲赫金哥茨叶彦谦译微积分教程人民教育出版社（1959） 。5 刘玉琏、扬奎元、吕凤数学分析讲义学习指导书高等教育出版社。五、实验要求与实验内容/课程实践环节基本要求:本课程每讲授二节课后，可布置一次课外作业，以巩固所学的知识。期中可安排一次测验，以检查教学情况，及时做出调整。六、教学方法的原则性建议：1、结合课程讲授，辅以自学和讨论.2、适当介绍建立数学模型的思想.3、应注意采用现代教学的思想观点和方法.七、考核方式及成绩构成该课程为考试课，考核形式为闭卷，平时作业与期中考试占 30%、期末考试占70%.八、必要的说明本课程是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，起着承上启下的重要作用，一方面它与中学数学有很好的联系，是中学数学的进一步发展，另一方面它又为许多后继课程，如复变函数、实变函数、常微分方程、概率论、泛函分析、微分几何等课程提供重要的基础.本大纲从 2010 级开始执行.九、本大纲编写参照系、编写根据、编制人：本课程以数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的培养方案对本课程的要求为根据编写而成.编制人：赵利彬 数学分析 2课程教学大纲课程代号：21090032总 学 时： 96 学时（讲授 66 学时，习题 30 学时）适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学先修课程：数学分析1一、本课程地位、性质和任务本课程是本科数学与应用数学专业、信息与计算科学专业的一门必修的学科基础课程。通过本课程的教学,使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、思想方法，培养学生解决实际问题的能力和创新精神，为学习后继课程打下基础。二、课程教学的基本要求重点：定积分；数项级数的收敛性、函数项级数的一致收敛性.基本要求：了解实数完备性的基本定理及其等价性、理解不定积分的定义，理解定积分的定义、可积条件，了解反常积分的概念，熟练掌握换元积分和分部积分法，熟练掌握微积分学基本定理、基本公式，掌握反常积分的收敛性判别法，熟练掌握数项级数的收敛性判别法，掌握函数项级数的一致收敛性判别法、函数的幂级数展开、 了解傅里叶级数。三、课程学时分配、教学要求及主要内容(一) 课程学时分配一览表学时分配章节 主要内容总学时 讲授 讨论 习题 实验 其他第七章 实数的完备性 10 6 4第八章 不定积分 10 8 2第九章 定积分 16 10 6第十章 定积分的应用 10 6 4第十一章 反常积分 10 8 2第十二章 数项级数 14 10 4第十三章 函数列与函数项级数 14 10 4第十四章 幂级数 6 4 2第十五章 傅里叶级数 6 4 2(二) 课程教学要求及主要内容第七章 实数的完备性教学目的和要求：1 、理解区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理；2 、了解实数完备性基本定理的等价性；3 、掌握闭区间连续函数性质的证明4 、了解上、下极限定义及其计算。教学重点和难点: 实数完备性基本定理的等价性、闭区间连续函数性质的证明教学内容1 、区间套定理2 、聚点定理3 、有限覆盖定理4 、实数完备性基本定理的等价性；5 、闭区间连续函数性质的证明6 、上 、下极限定义及其计算第八章 不定积分教学目的和要求：1、熟练掌握不定积分的计算及换元积分法、分部积分法；2、掌握有理函数不定积分的计算。教学重点和难点:换元积分法、分部积分法、有理函数积分法。教学内容：1、不定积分的定义及其性质；2、换元积分法和分部积分法；3、有理函数的不定积分及其应用。第九章 定积分教学目的和要求：1、理解定积分定义的导出背景，定积分定义，掌握其性质；2、理解 Darboux 和 Riemann 可积的充分必要条件；3、熟练掌握微积分基本定理、定积分的计算；教学重点和难点:微积分学基本定理、基本公式、可积条件。教学内容：1、定积分定义的导出背景；定积分的定义及其性质；2、Darboux 和；Riemann 可积的充分必要条件；3、微积分基本定理（Newton-Leibniz）公式；4、定积分的换元积分法和分部积分法；5、定积分的计算.第十章 定积分的应用教学目的和要求：1 、掌握平面图形的面积的计算公式2 、掌握体积的计算公式3、掌握平面曲线的弧长的计算公式4 、理解旋转曲面的面积5、了解定积分在物理中的应用6、了解定积分的近似计算教学重点和难点:平面图形面积的计算公式、体积计算公式、平面曲线弧长的计算公式教学内容：1 、平面图形的面积2 、体积的计算公式3 、平面曲线的弧长与曲率4 、旋转曲面的面积5 、定积分在物理中的应用6 、定积分的近似计算第十一章 反常积分教学目的和要求：1、了解反常积分的定义；2、掌握反常积分的计算及收敛判别法。教学重点和难点:反常积分收敛判别法。教学内容：1、反常积分的定义及计算；2、反常积分的收敛判别法。第十二章 数项级数教学目的和要求：1、理解数项级数及其敛散定义，数项级数基本性质；2、熟练掌握正项级数敛散的判别法，交错级数的 Leibniz 判别法；3、掌握任意项级数判别法。教学重点和难点:正项级数收敛的判别法、任意项级收敛数判别法。教学内容：1、数项级数及其敛散定义；2、数项级数基本性质；3、正项级数的定义及其敛散的判别法（比较判别法、Cauchy 判别法，DAlembert 判别法、 Raabe 判别法、积分判别法） ；4、交错级数的定义及 Leibniz 判别法；5、任意项级数的定义；Abel 判别法与 Dirichlet 判别法；6、级数的绝对收敛与条件收敛的定义及其判别法、性质；第十三章 函数列与 函数项级数教学目的和要求：1 、掌握函数列的一致收敛定义2、掌握函数项级数点态收敛与一致收敛定义；2、掌握函数项级数一