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第 1 页 共 4 页8矩阵多项式与多项式矩阵设 A是 n阶阵,则为矩阵 A的特征多项式事实上, 因此有nnaaEf 11)( L一、 Hamilton-Cayley Th(哈密顿开莱)Th2.每个 n阶矩阵 A,都是其特征多项式的根,即(矩阵)011aAnnL注:该定理旨在用于:当一个 n阶矩阵的多项式次数高于 n次时,则可用该定理将它化为次数小于 n的多项式来计算。eg1.设 试计算012 EAA432)(2458解: A的特征多项式为)(23Ef取多项式 42458)()192(3 rf余项 1074)(r由上定理 )(Af 34610952813724)(EArDf2.一般地,设 是多项式, A为方阵,若 ,则称 是矩阵 A的零化多项)()()(式。根据定义:每个矩阵都有其零化多项式,即 AEf)(Df3.设 A是 n阶矩阵,则的首项系数为 1的次数最小的零化多项式 ,称为 A的最小)(m多项式。显然:矩阵 A的零化多项式都被其最小多项式整除。矩阵 A的最小多项式是唯一的Th3.矩阵 A的最小多项式的根必是 A的特征根;反之, A的特征根也必是 A的最小多项式的根特征多项式与最小多项式之间的关系。由此可得,求最小多项式的一个方法:设 ,其所有不同的特征值为 ,则其特征多项式为nCs,21LkskkAEf )()()()(1第 2 页 共 4 页则 A的最小多项式必具有如下形式: nsnnm)()()()21 L其中 siki ,eg2.求 的最小多项式03125A)(m解: )4()(2EfQ的最小多项式,只能是:A,或 , , 及)4(2)(m2)()m)2()4(mf经计算可知: 是 A的最小多项式,由此可得:)()(Th4.若 A的特征多项式没有公因子,则特征多项式为最小多项式。下面定理给出了求最小多项式的另一种方法:Th5.设 A是 n阶矩阵, 是特征矩阵 的 n-1阶行列式因子,则 A的最小多项)(1nDE式为 n阶不变因子。)()(1nnEmeg3.求 的最小多项式024A3)(nD)(1n 2)(nEm二、多项式矩阵:在线性控制系统理论中有着重要的应用。Df1.称 为 矩阵,或多项式矩阵,其中 是 的多项式。nmijaA)()( )(ijaDf2.若 n阶多项式矩阵 的行列式 (非零多项式) ,则称 是满秩的0)(A)(A(秩= n)或非奇异的。Df3.若 使 ,则称 是可逆的,或称 是单模矩)(BEBA)()( )()(阵,记为 。1注意:非奇异比可逆的定义要广,可逆一定非奇异,非奇异未必可逆,这里,非奇异与可逆是两个不同的概念,要与数字矩阵区别开来。第 3 页 共 4 页Th1.n阶多项式矩阵 可逆 为非零常数。)(A)(detA注: 也可象 A一样,进行初等变换。)(互换的任意两行(列)以非 0数 c( 乘以 的一行(列))P)(以多项式 乘 的某一行(列)并加到另一行(列)Df4.由单位阵 E,经过一次上述初等变换,得到的矩阵称为初等矩阵。Df5.多项式矩阵 称为与 等价,若 经过有限次初等变换能变为)(A)(B)(A)(B记为 )(亦具有自反性,对称性,传递性。Th2.对任一非零多项式矩阵 ,有:)(00)(0)()(21OrdJA其中 是 的秩, 是首项系数为 1 的多项式,且1r)(A),21()ridiL,2)(ridii L称 为 的更密斯(Smith)标准形,称 为 的不变因子。J)( )(idA同数字矩阵一样,也可以定义 的 k 阶行列式因子与初等因子。)(Aeg1.求多项式矩阵:的 Smith 标准形。201)()(A解:利用初等变换可得: )(2()101)( J第 4 页 共 4 页且有 , ,1)(d)(2 )2(1)(3dTh3.若 ,则 与 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。BAABTh4. 与 具有相同的行列式因子,或不变因子。)()(利用多项式矩阵与 Smith 标准形等价还可以求出一个矩阵 A 的 Jordan 标准形。eg2.求: 的 Jordan 标准形。413062A解: )()1(012 JE )()()(1)(32dd初等因子为 ,故21,01JA由上述重要结论: , 的主要理论依据。BEABJA9.矩阵的分解Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为 0,则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积,即。若阶矩阵的各阶顺序主子式不为 0,则可分解成单位下三角阵,非奇异矩阵,单位上三角矩阵的乘积,即。实对称(正定)矩阵可分解成,其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。实对称(正定)矩阵可分解为,其中为正交矩阵。若为矩阵,则存在酉矩阵,使。其中。若为非奇异的阶复矩阵,则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵,使。(舒尔) 。若为非奇异的阶实矩阵,则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵,使。本定理称为矩阵的分解。设求的分解。解:是非奇异的阶实矩阵。由知:存在分解。
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