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1.(1) =v 01.201.02)(tt tss= =14.03.0)63(tt(2) 4lim200ttsv2.(1) = = =t1ts1tggt215)1(2)(52= g25(2) thtlim)1(10(3) tgttgttvt )215()(2)(50020000= tgt10(4) 000 5)25(limli)( gtttthttt 3. (1) xffxffxx )(li)( 00= )()(li 0,0fffx (2) )(lim)(lim0,000 xfhxhhh (3) ffxfxfhh 20020 )(li(li = li)li 020 ffhh(4) xffx()(lim0= )(21()()21li 0,000 xfxfx 4.(1) ffyxli0= xxxx )(lim1lim00= 200 1)(li)(lixx (2) xfff xx 00lili)(= xxx 1limlim00= 215.解: 1)5(2)(5(21li2)5(li 00 fxffxffxx6(1) y首先判断函数的连续性时 连续, 时 连续,0x20 x2-y在 时,)(lim)( 20ffx 0lixffx由于 )0()(ff所以函数 在 处连续yx下面判断可导性在 处xxfffx)0(lim)0(0= x2(li= 0xfffx )0(lim)(0= li)li02xx由于 故函数在 处可导()0ff(2) )1(1-xsinlmli1 fx )(函数 在 处不连续,从而 在处不可导。)(f 0x(3) 由于 li)(li00xfm)(0fxx即 0ff所以函数 在 处连续。)(xf又由于 1)ln(iml)1ln(i)0( 0 xxf xxf-lm0x即 )(f所以函数 f(x)在 处可导(4)由于 0li)0(2xflim0xef所以函数 在 处连续)(f又由于 1li0 xeflim)(20 fx则 f)(f所以 在 处不可导xf07 解: 时 xxf2)( 时x3 )(时00lim20 xfli)(30 fx所以 在 处可导 且 0)(f且 )(xf0,328 解:由于 处连续f0)21ln(im)0(xf bax故 b又由于 在 处可导)(faxbfx0li020)1ln(im0)21ln(i)0( 0 xxf xx故只需 时,函数 在 处可导,ba)(f9 解:由于 )1(lixli1x又由于 在 处连续,所以f0)(f则 21)(lim1)(lifxfxx10 解:由于 则 ay3 3aykx 0xy故 在 处的切线方程为0)(10xy即)xf在 法线方程为 yxy即11 解:要使 的 切 线 平 行与 32只需 3x即 解得 和020x32则 在 和 处 抛物线 x32的 切 线 平 行与 32yx12 解:在 处 021lim1li1lim0)(li)0( 303030 xxaxaxff xxxgfxli20 )(li0gx由于 为有界函数,则)(f0)(li0xx由于 ff故 0)(13.证明: 在曲线上任取一点( ) ,曲线在 处的切线方程为0,yx0x)(020xay令 解得 x021y令 解得 0y012x所以,切线与两坐标轴围成的三角形面积为 2021.2axS由 的任意性即证结论成立),(0y练习 3.21.求下列函数的导数 3223 41)5sin4(.1xxy)( xx ee5ln86).223 xxy2cos)(2cos1 )2(si1)i1(in. xxxysec)tan2( 1ts)(ars)(ri)(ae).4 2222 22 cotssectan)()tan()ot(.5xxy)(22 ln1l1ln)l()l(l).6 xxy )()()()().7xy xxx xsinlcosln2 )(coslc)()(82 2 2 2.(1).由于 2 )1()f所以 41()00xff25)2 (2). 由于 xysin6co10故 356x 33xy(3). 由于 tansec21sectand故 24d3. 2)7(6)()7(3).1xxy x1cos1cos.2( xxyarin2)(arinri).3 )l(nl)l(l)ln(1.4( x 22222 11)1()1()5 xxxy xcotsinsin)6( 129129 0ln10)(0l07 xxy)sico(sicos).8( ) xxxxx eee11().922xy 2222 222 )(11).0( xaxxaxaxy xx eeey 2sinsin2sin icoi)i().1( xxx22sin1cosico)(sintarc)(iartot1. zyt)2i( )t().13(xxx eee2)()(1).4(2 32321312 )(61)()().15( xxy 222 )(sincossi)sin(cocosi).6( xxx 4.(1)方程两边关于 求导x012dyedyx解出 得 yx2(2)方程两边关于 求导01dyx解出 得 x(3)方程两边关于 求导 dyedyxxcos22解出 )(2(4)方程两边关于 求导xdydxy21解出 得 2y5.(1)方程两边取自然对数 xxzxexy sinco)1ln(lsin)1(2ln 22 则 ct24)( 22 (2)方程两边取自然对数 3lnl31lnl xxy上式两边关于 求导 312124 xxy则 )(4)3(2 x(3)方程两边取自然对数 xxyln2arcsiln2l上式两边关于 求导 xxy13arcsin1312则 ex 2arcsin 23(4)方程两边取自然对数 xycos1lnl上式两边关于 求导 2cslcos1ixy则 )cos1(lnin)( 2x6.(1)由参变量方程求导法则可得 ttdtxycosinsi2(2) ttdtxy12)(4(3) 21ttdtxy(4) ttetdtxytt sincossinico7.解:在等式 中令 ,则)(3(xff00)3)(f故由导数定义得: 1)0(3)(lim3)0(3lim)(lim)( 000 fxfxffxfff xxx8.解:由于 )f在 1处连续,则li)01(21xf ba故 ba又由于 有连续的导数,且)(f当 时 1xxba2当 时 f)(则当 时 1x)(lim)(li11xfxfx即 2ba联立求解可得: 3a9.对方程 两边取自然对数得xylnl对上式两边关于 求导 l1l yxyx解出 ,可得 1lnln 2yxyx10.解:由于 )si()(xf故 coin)(xf11.解:由于0,)1ln(,00),1arctn22xf xfgf又当 时x 22 21arctn()1arctn( )( xxxfdgf 当 0时2221)ln( )l()(xfdxgf 在 0x处0arctlim2fx0)(1ln(im20xffx故 0,12)ln(0, 0,1arctn)(arct()( 22xxf xfdxgf12.(1) )(lnl.l 22ffy(2) )()( 22xfxf(3) ycos(in(4) )(cos)(s fff13.(1)设 可导,且)(xf )x对上式两边关于 求导,且由复合函数的求导法则可得)(1()ff即 x可知 为奇函数)(f(2)不妨设 可导,且为奇函数。则xf)(xf上式两边关于 求导 1 xff即 )(x则函数 为偶函数f(3)不妨设 可导且周期为 ,则对任意的 ,有)(xfTx)(Txf对上式两边关于 求导,则(xff则知 仍为周期函数,且周期为 。) T14.解:设圆的半径为 ,则)(tr2rA由于 与 都是时间 的函数,且Ar smdt3.0sdtdtrr 222.13.41.解:由于 21211 )()(32)( xxxxyxyx 所以 03221xy9.).0(.00.21. xy又由于 xxd)3(则 yx1故 xd1.0.xdy01.1.0xdy2.(1) )ln(2)(1ln2(2) dxeededy xxxx )1cos(1cossi (3) xxx2ct)(2sini2sin1(4) dexededy xxx 22)1()1()(1(5)对 两边关于 求导yxeyy解出 y1则 dxexdy3.(1) (2) 2)( dxd21)((3) (4) xxd1ln tansec(5) (6)dsec)4ta(2 xd)ot21(24.解:由 xfxfxf )(000则(1) 令 , ,ln)(1.xf1)(0则 2.12.ln(2) 令 , ,xftan)(o450180ox2sec)( 020xxf39.18245t6tanoo(3)6)(xf令 640, x, 25)(0f5.212546(4) xfarcsin)( 令 .0, 02.x, 32)(0xf843.325.i502.arcsin o5.解:(1)令 xf1)(, 0, x,则当 x很小时,由近似公式ffxf )(00可得xx1(12(2)解:令mf), 0, x,则当 很小时,由近似公式xfxfxf)(00可得xmm1)(1)(16.解:由于 dty2dtt221)(则 tdttxd127.解:令球的半径为 ,体积为 ,则rV34rV可知 是 的函数。 cmr50
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