几种测量不确定度 A类评定方法的比较 赵海鹰 摘 要： 测量不确定度的 A类评定方法基于实验统计数据, 以实验标准差表示。实验标准偏差是总体标准差的估计值, 所以测量不确定度 A类评定本身也存在概率分布和标准差。本文对常用测量不确定度 A类评定方法的相对误差进行比较, 并给出了应用实例。关键词： 不确定度; 标准偏差; 作者简介：赵海鹰, 女, 高级工程师。工作单位:辽宁 92493信箱 89分箱。收稿日期：2017-06-19Compsrison of the Estimation Accuracy of Some Type A Evaluation of Measurement UncertaintyZhao Haiying Received： 2017-06-191 引言20世纪 80年代起, 国际上建议采用测量不确定度来评定测量值。与传统的误差方法相比, 不确定度评定方法更容易定量、便于操作, 比较科学地评价了测量值的可靠程度。目前, 测量不确定度的基本概念已经被广泛接受, 不仅仅限于计量领域中的检定、校准和检测, 已成为科技、经济、商贸等许多领域的约定做法。国际权威组织在历经反复研究讨论和征求各国意见的基础上, 制定了统一的测量不确定度评定方法和规则, 即测量不确定度表示指南 (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, 简称 GUM) , GUM代表了当前国际上在表示测量结果及其测量不确定度时的约定做法, 具有权威性。本文针对其中几种测量不确定度的 A类评定方法进行分析比较, 为实验室或工程技术人员进行不确定度评定提供参考。2 测量不确定度的 A类评定传统误差方法评价测量值是要确定尽可能接近某一真值的量值, 也就是在寻求测量值与真值或约定真值的偏差, 而不确定度方法是用一个表征测量结果的分散性的参数来评价测量值, 即统计学中的标准偏差, 所以也称为标准不确定度。GUM中把测量不确定度评定方法归为 A类和 B两种。 (1) 可以通过测量得到的数据, 并采用统计分析方法获得实验标准偏差的方法称为标准不确定度的 A类评定; (2) 利用有关的先验信息或概率分布信息去估计被测量的分散性, 称为标准不确定度的 B类评定。A 类评定基于统计分析方法, 比 B类评定更为客观。但两种评定方法得到的标准不确定度并无本质上区别, 无论采用 A类评定或 B类评定, 最后均用标准偏差来表示测量不确定度。2.1 方差与标准偏差方差是无穷多次测量的测量值与其期望之差平方的算术手平均值, 用 表示:标准偏差是方差的正平方根, 也简称标准差, 用 表示:式 (1) 中, 测量值与期望之差为随机误差, 因此, 方差可以理解为是测量随机误差平方的数学期望, 反映了测量值的分散性, 由于方差的量纲是单位的平方, 使用不便, 所以用标准偏差评价测得值。标准差在数据处理中的意义主要就是比较不同测量组数据的分散性。如图 1所示, 小表明测量值比较集中, 大表明测量值比较分散。2.2 测量不确定度的 A类评定测量不确定度评定是统计学方法的一种应用, 标准偏差 是以无穷多次测量情况下定义的, 称为总体标准偏差。但实际测量不可能进行无穷多次, 因此, 是理想的定义。实际工作中, 标准不确定度的 A类评定方法只能依赖于对被测量样本数据的统计, 可以用有限次测量的数据估计得到测量值的标准偏差, 称为实验标准偏差或样本标准偏差, 作为总体标准偏差的 估计值, 记为 s。所以, 测量不确定度的 A类评定首先要获得测得值样本。测量不确定度 A类评定的估计方法主要包括贝塞尔公式法 (贝塞尔无偏估计) 、极差法、最大误差法 (最大残差法) 、较差法、最大方差法、彼得斯公式法等, 其中贝塞尔公式法最为常用, 极差法次之, 最大误差法特别适用于比较特殊的场合 (如一次性破坏实验等) 。常用评定方法如下:在重复测量条件下, 对被测量 X作 n次独立重复测量, 获得一组测量值 xi, 然后采用统计方法计算样本的实验标准差 s (x) 作为标准不确定度 u。实验标准偏差可按以下几种方法进行估计。图 1 标准偏差的意义 下载原图(1) 贝塞尔公式法(2) 贝塞尔公式无偏估计法统计学可以验证, 对于贝塞尔公式法, s 是 的无偏估计, 但 s不是 的无偏估计, 通过换算可以得到无偏修正的贝塞尔公式, 用 s表示。式中修正系数 Mn可以查表获得, 由式 (4) 可见, M n值随 n减少明显偏离系数1。因此, 在样本数较小的情形, 为了减少对 s (x) 估计的相对误差, 最好采用无偏修正的贝塞尔公式;若直接采用贝塞尔公式计算 s (x) , 通常建议 n取810次。(3) 极差法dn极差系数, 根据测量次数可以查表获得。同样统计学可以验证, 对于极差法, s (x) 总体样本标准差 的无偏估计。因此, 当测量次数较少时, 建议采用极差法估计实验标准偏差, 计算简单, 但极差法只适用于测量误差服从正态分布的情况。(4) 最大误差法kn最大误差系数, 根据测量次数可以查表获得。同样统计学可以验证, 对于最大误差法, s (x) 也是总体样本标准差 的无偏估计, 特别是在一次性的实验中, 它是唯一可用的方法。最大误差法也只适用于测量误差服从正态分布的情况。表 1 各种实验标准偏差计算法的系数 下载原表 3 A类评定的比较3.1 标准差的相对误差标准不确定度的 A类评定是以实验标准偏差 s来表示, 实验标准偏差 s是总体标准差 的估计值, 那么 s本身也存在概率分布和标准差;用 (s) 表示 s的标准差, (s) /s 可以作为标准差的相对误差, (s) /s 越小, s 则越准确, (s) /s 也称为标准差系数。几种常用估计标准偏差的相对误差 (s) /s的计算如下:(1) 贝塞尔公式与无偏估计法在 n次测量服从正态分布且独立的条件下, 根据统计学公式可以导出如下的两个关系式:对于贝塞尔公式计算 s有:对于无偏估计公式计算 s有:由上两式可见, 修正贝塞尔公式的相对误差减少了有偏影响项 。表 2中前两行分别列出了在不同测量次数情形下用贝塞尔公式和修正贝塞尔公式估计标准差的相对误差, 相对误差愈小, 表示估计的信赖程度愈高。由于公式 (8) 的复杂性, 不便在实际中使用, 以下另给出一个适合估计贝塞尔公式的相对误差的公式, 详细推导见参考文献。由于自由度 v=n-1, 所以式 (9) 又写成:当自由度较小时, (s) /s 较大, s 的可靠程度差。因此自由度反映了估计的标准偏差的可靠程度。(2) 极差法当测量误差服从正态分布时, 对于极差法计算 s有:dn极差系数;D n方差系数;C n见表 2。在 n10, 用修正贝塞尔公式估算, 并没有显著改善;从估算简易程度上看, 极差法和最大误差法公式简单, 但需要查表计算。另外, 极差法和最大误差法的公式中所用系数都是在假设正态分布的条件下计算出来的。如果偏离正态分布, 也照搬用这些公式及其系数, 则会影响估计的信赖程度。4 结束语测量不确定度是对测得量值分散性的描述, 以实验标准差表示。A 类评定方法基于实验统计数据, 实验标准偏差是总体标准差的估计值, 所以测量不确定度A类评定本身也存在概率分布和标准差。本文给出了常用测量不确定度 A类评定方法相对误差的比较及与测量次数的关系, 可以根据标准差系数大小所反映出的测量精密度高低来比较各种 A类评定方法的优劣及其适用范围, 在测量结果评定时选择合适的方法, 并确定合适的测量次数。参考文献1费业泰.误差理论与数据处理M.北京:机械工业出版社, 2000 (第 4版) . 2沙定国.误差分析与测量不确定度评定M.北京:科学出版社, 2003. 3孙家鼎.概率统计M.北京:高等教育出版社. 4朱安远.各种估计总体标准差方法的误差分析和比较研究J.中国市场, 2013 (7) . 5徐扬光.关于总体标准差 的估计精度分析J.中国质量管, 1983 (2) . 6周富臣, 孙玉莲.总体标准差 的五种估计及估计精密度J.计量技术, 2006 (12) . 7黄景祥.几种标准差估计方法的精密度与评价J.中国计量学院学报.1995年增刊.