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- 1 -第二章 平面向量(A 卷学业水平达标)(时间:90 分钟,满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)1在五边形 ABCDE 中(如图), ABur C Dur()A Cur B ADurC BD D E答案:B2(全国大纲卷)已知向量 m( 1,1), n( 2,2),若( m n)( m n),则 ()A4 B3C2 D1答案:B3若| a| ,| b|2,且( a b) a,则 a 与 b 的夹角是()2A. B. 6 4C. D. 3 2答案:B4在 ABC 中, D 为 BC 边的中点,已知 ABur a,ACur b,则下列向量中与r同向的是()A. B. a b|a b| a|a| b|b|C. D. a b|a b| a|a| a|b|答案:A5已知边长为 1 的正三角形 ABC 中, BCur Ar Bur Cu的值为()A. B12 12C. D32 32- 2 -答案:D6已知平面内不共线的四点 O, A, B, C 满足ur OA Cur,则13 23|ABur| C|()A13 B31C12 D21答案:D7 P 是 ABC 所在平面上一点,若 PAur rPCur Au,则 P 是 ABC的()A内心 B外心C垂心 D重心答案:C8已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足( a c)(b c)0,则| c|的最大值是()A1 B2C. D.222答案:C9在直角梯形 ABCD 中, AB CD, AD AB, B45, AB2 CD2, M 为腰 BC 的中点,则 MAur D()A1 B2C3D4答案:B10.如图,半圆的直径 AB6, O 为圆心, C 为半圆上不同于 A, B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则( PAur )ur的最小值是()A. B9C D992 92答案:C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)11在直角坐标系 xOy 中, ABur(2,1), Cur(3, k),若三角形 ABC 是直角三角形,则 k 的值为_答案:6 或112在边长为 2 的菱形 ABCD 中, BAD60, E 为 CD 的中点,则 AEurBD_.答案:1- 3 -13如图, OM AB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动,且 Our x A y Bur,则 x 的取值范围是_当 x 时, y 的取值范围是12_答案:(,0) (12, 32)14在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A, B, C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数 ,使得 Cur (1 )ur成立,此时称实数 为“向量 OCur关于 OAur和 B的终点共线分解系数” 若已知 P1(3,1), P2(1,3),且向量 3Pr与向量a(1,1)垂直,则“向量 3Pr关于r和 2的终点共线分解系数”为_答案:1三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知平面向量 a(1, x), b(2 x3, x), xR.(1)若 a b,求 x 的值;(2)若 a b,求| a b|.解:(1)若 a b,则 ab(1, x)(2x3, x)1(2 x3) x( x)0.整理得 x22 x30,解得 x1 或 x3.(2)若 a b,则有 1( x) x(2x3)0,即 x(2x4)0,解得 x0 或 x2.当 x0 时, a(1,0), b(3,0), a b(2,0),| a b|2;当 x2 时, a(1,2), b(1,2), a b(2,4),| a b| 2 .4 16 5综上所述,| a b|为 2 或 2 .516(本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, ABur a, Dr b, H, M 分别是- 4 -AD, DC 的中点, BF BC.13(1)以 a, b 为基底表示向量 AMur与 HF;(2)若| a|3,| b|4, a 与 b 的夹角为 120,求 AurHF.解:(1) M 为 DC 的中点, Dur C,又ur B,12 A ADr a b,12 12 H 为 AD 的中点, BF BC, u,13ur , BFur ,12 13 A Dr r12 13 Bu a b.16 16(2)由已知得 ab34cos 1206,AMrHF (12a b) (a 16b) a2 ab b212 (1 112) 16 32 (6) 4212 1112 16 .11317(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,2), B(2,3),C(2,1)(1)求以线段 AB, AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数 t 满足( ABur tOC)ur0,求 t 的值解:(1)由题设知 (3,5), (1,1),则ur (2,6),r (4,4)- 5 -所以| ABur C|2 ,| ABur C|4 .10 2故所求的两条对角线长分别为 4 ,2 .2 10(2)由题设知 Or(2,1),r t (32 t,5 t)由( ABu t Cr)u0,得(32 t,5 t)(2,1)0,即(32 t)(2)(5 t)(1)0,从而 5t11,所以 t .11518(本小题满分 14 分)已知 e1, e2是平面内两个不共线的非零向量, ABur2 e1 e2,BEur e1 e 2, Cur2 e1 e2,且 A, E, C 三点共线(1)求实数 的值;(2)若 e1(2,1), e2(2,2),求 Bur的坐标;(3)已知 D(3,5),在(2)的条件下,若 A, B, C, D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点 A 的坐标解:(1) Eur Br(2 e1 e2)( e1 e 2) e1(1 )e2. A, E, C 三点共线,存在实数 k,使得r k Cu,即 e1(1 )e2 k(2 e1 e2),得(12 k)e1( k1 )e2. e1, e2是平面内两个不共线的非零向量,Error!解得 k , .12 32(2)BCur Eur3 e1 e2(6,3)(1,1)(7,2)12(3) A, B, C, D 四点按逆时针顺序构成平行四边形,r .设 A(x, y),则r(3 x,5 y),ur(7,2),Error!解得Error!即点 A 的坐标为(10,7)
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