高斯投影坐标正反算公式未知 2010-04-03 10:47:15 本站 高斯投影坐标正反算公式 任何一种投影 坐标对应关系是最主要的； 如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（ C-R 偏微分方程），还有它本身的特殊条件。 1.1 高斯投影坐标正算公式： B, x,y 高斯投影必须满足以下三个条件 ： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即 (8-10) 式中， x 为 的偶函数， y 为 的奇函数； ，即 ，如展开为 的级数，收敛。 （ 8-33 ） 式中 是待定系数，它们都是纬度 B 的函数。 由第三个条件知： (8-33) 式分别对 和 q 求偏导数并代入上式 (8-34) 上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂 前的系数应相等，即 (8-35) (8-35) 是一种递推公式，只要确定了 就可依次确定其余各系数。 由第二条件知 : 位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标 x 应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长 X ，即 (8-33) 式第一式中，当 时有： (8-36) 顾及 ( 对于中央子午线 ) 得： (8-37,38) (8-39) 依次求得 并代入 (8-33) 式，得到高斯投影正算公式 (8-42) 1.2 高斯投影坐标反算公式 x,y B, 投影方程： (8-43) 满足以下三个条件 ： x 坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x 坐标轴投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。 由 x 求底点纬度 ( 垂足纬度 ) , 对应的有底点处的等量纬度 ，求 x,y 与 的关系式，仿照 (8-10) 式有， 由于 y 和椭球半径相比较小 (1/16.37) ，可将 展开为 y 的幂级数；又由于是对称投影， q 必是 y 的偶函数， 必是 y 的奇函数。 (8-45) 是待定系数，它们都是 x 的函数 . 由第三条件知： ， ， (8-21) (8-45) 式分别对 x 和 y 求偏导数并代入上式 上式相等必要充分条件，是同次幂 y 前的系数相等， 第二条件，当 y=0 时，点在中央子午线上，即 x=X ，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度 ，也就是 x=X 时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为 。也就是在底点展开为 y 的幂级数。 由 (8-45)1 式 依次求得其它各系数 (8-51) (8-51)1 将 代入 (8-45)1 式得 (8-55)1 (8-55) 将 代入 (8-45)2 式得 (8-56)2 式。 ( 最后表达式 ) 求 与 的关系。 由 (8-7) 式 知： (8-47) (8-48) 按台劳级数在 展开 (8-49) (8-50) 由 (8-7) 式可求出各阶导数： (8-53) (8-54)1 (8-54)2 将式 (8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54) 代入 (8-50) 式并按 y 幂集合得高斯投影坐标反算公式 (8-56)1, (8-56) 归纳由 求 的基本思想 ：由点 得到底点 ，将底点 f 作为过渡，也就是说将坐标原点 o 移到 f 点，先求 关系式，再将 关系式代入 关系式得 关系式，最后将坐标原点移回到 o 点 , 从而求得 点。 1.3 高斯投影坐标正反算公式的几何解释 当 B=0 时 x=X=0 ， y 则随 l 的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为 y 轴。当 l=0 时 , 则 y=0,x=X, 这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为 x 轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 当 l= 常数时 ( 经线 ), 随着 B 值增加， x 值增大， y 值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因 ，即当用 -B 代替 B 时， y 值不变，而 x 值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 当 B= 常数时 ( 纬线 ) ，随着的 l 增加， x 值和 y 值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用 -l 代替 l 时， x 值不变，而 y 值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。 距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。