补充讲义求和约定与张量概念雷君相 编上海理工大学二 00 九年九月十六日求和约定和张量概念(以三维空间为例)一、 求和约定1字母标号法 一点位置： （ ）,xyz123,xix1,23 一点位移： （ ）uvwui 轴向单位矢： （ ）,ijk123,eie, 方向单位矢： （ ）lmnlil123 一点应力状态： ,xyzxyzx ( )1231231()ijji,j ij 一点应变状态： ,xyzxyzx1231231, ij 偏导数： ,xyz123,x,i 312,123,x,i注：1）角标符号：成组的符号和数组都可用一个带下角标的符号表示，这种符号叫做角标符号。2) 角标符号后的括号在不引起误会的情况下常可省略。3）如一个角标符号带有 m 个角标，每个角标取 n 个值，则该角标符号代表了 个元素。如： ，有mn(,12,3)ija个元素。2392.求和标号（哑标）:同一项中的重复标号表示求和，顺序取 1,2,3，。哑标31231i iijiiiiabab 省 略 省 略二重哑标 123iAeeA三重哑标3,dzidxyx哑标：算式中重复出现的角标叫做哑标。求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自 1 至 n 的所有元素求和。例： 即： （i=1,2，3）2213ll1il说明：（1）求和标号可用任何字母表示（或代替） 。imnkababijk（2）和式相乘，每一和式取不同标号。= （二重哑标）i123xyz（ ） （ ） （四重哑标）xyz i= + +123= + +2 = + +2xy2z而（ ） （ ）= （二重哑标）xyzxyzij= + + + + + + + +22zxyxzyxyzxzy= = = iAe iBe iAeiB3.自由标号：同一项中不重复出现的标号称为自由标号。= j求和标号，j=1,2,3；ijaxibi自由标号，i 取 1,2,3 之一。（线性代数方程）121323,iaxaxbii 为方程的序号，代表等式的数目又 ijikiaxbyCnj n即：自由标号要改统一改，否则便不改。例： （平衡微分方程） ,0ijiaF0)ijiFx(或i：自由标；j：哑标， 。1312, 0i Fxx0xyzX， 。2321, 0i Fxx0yxyzY， 。3123,izyzxzZ （应力边界条件） i：自由标；j：哑标ijilTi=1 ，1213llTxyzlmnXi=2 ，2yzYi=3 ，3123llzxzlZ （或 ） （几何方程）,1()2ijijjiu()jiijjiux11()xx22()uyv331()xzw1212()u11()22xyxyuvr3223()x()yz yzw3131()u11()22zxzxur4.Kronecker delta：1,0ijj即 123123101） 的运算公式：ij =ijii2213ijkiki=iik=ijkmiijajjajiiiijiajj2） 与单位矢的关系ij，。ijije120e3） 与方向余弦的关系ij新旧 1()xe2()y3()ze1()l1l1l2ye122323()z3l3ll: 第一标号原坐标ijl第二标号新坐标第一行为 轴与 x，y，z 轴的方向余弦第二行为 轴与 x，y，z 轴的方向余弦第三行为 轴与 x，y，z 轴的方向余弦z= ， = ieikljejnl即：1232132313lleeijikjnijnkllinjkl且 =ijeijikjijl又 ijikjnikelelijlikiijll4） 的应用ij（1）更换字母标号： 0ijia（ ）iijQijia，即： 。()0ijiijjiijij()0ijija求 ,?ijxiji,ijijx()iijjx（2）简写方程： ，112233,abhcabhcabhc12233,.。ijijijc （矩阵表示）：ijmijijs二张量概念标量：零阶张量： 031矢量：一阶张量：张量：二阶张量： 分量（或元素）291.标量（Scalar）绝对标量 .Ttm与坐标选取无关的量称为不变量。2. 矢量（Vector）:.iDuvwr矢量与坐标选取有关，坐标系变化时要服从一定的规律。（旧坐标中）,:ixyzer（新坐标中）jDuijueijiijjueijil jijl即 即为矢量转轴公式（坐标变换） 。ijiujijl引申定义：已知：三个数 ，一个矢量 ， 若 -不变量，则 -iaiueiauia构成矢量；若 -矢量， 则 -不变量。iai证明： （不变量） ijauQijial又 jijl ijijulau为不变量。ijiau ia则 ijil故 。iia 矢 量3.张量（Tensor）定义：有量 在坐标转换过程中满足：ij（二阶张量的转轴公式）ijmnijalij规律的量称量 为张量，记为 。ijaija引申定义一：已知：九个数 ，两个矢量 ，若 不变量ijaijeija（双线性组合） ，则 。ijij证明：而ijmnamilijl jn则 （定义）ijmnij。ijija引申定义二：已知：九个数 ，一个矢量 ，若 ，而 ， ij jijiai则 。ijija证明：给 乘矢量 得ijiai（引申定义）iji。ijij例：证明：一点的应力状态是张量。单位面积上的内力-应力矢（全应力） 3112peerQxyxz2123eer33piijerivli设 的面积为 1，则 面的面积为ABCViXilivplr而 ，iijevjper即 ij jl（引申定义二）vijj是张量。ij4.张量的矩阵、种类； 单位矩阵12133ija10ij1）对称张量：六个独立分量 ， 。ijjiaijij2）反对称张量：三个独立变量ijji0iia12330a3）共轭张量：（反）对称张量（ ）转置后 （ ） ，则互为共轭张ijajiaji量。5. 张量的加减和分解：1） 加减 ()()ijijijabc即对应元素的加减。可能出现零张量。ijijij2） 分解为对称张量和反对称张量设 其共轭ijajia，为对称张量；1()2ijijjic，为反对称张量。()ijijjia而 。ijijijc例：应力张量：可分解为 ,球 张 量偏 张 量即 。ijmijijs6张量的不变量和主方向： 1213123 3()iij jikiaac 第 一 不 变 量第 二 不 变 量 第 三 不 变 量设单位方向矢 ，张量jile()ij， ，若 ，则 为主值。ijialiiijl=.所以， 就是 的主方向。()ij练习题1. 写出下列各式的具体表达式：(a) /(1,23);iipux(b) ,ijyaj(c) /0(,);ijixi(d) ,123ijikjyjk(e) 。(,)ijijax2. 简写下列各式：（a） ；1213223yxaa（b） 。1213223yxxaa3. 证明下列等式：（a） ；ijij （b） ；ijkmi（c） ， 其中 ， 。221()Jc1ic2ij