新高二数学教师讲义1第三章空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减法【考点同步解读】1理解空间向量概念及其运算性质，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法.2能够结合图形说明空间向量加减法及其运算律. 考点 1：空间向量基本概念及理解例 1:给出下列命题：若空间向量 a， b满足| a| b|，则 a b；若空间向量 m， n， p满足 m n， n p，则 m p；零向量没有方向；若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D4正解：模相等的两个向量不一定相等，错；| m| n|，| n| p|，所以| m| p|，又 m与 n同向， n与 p同向，从而 m与 p同向，所以 m p，对；零向量方向任意，但并不是没有方向，错；错C正解依据：（1）空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样（2）两个向量的模相等，只是它们的长度相等，但它们的方向不一定相同.考点 2：空间向量加减法及运算律例 2如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N分别为AB、 B1C的中点用 、 、 表示向量 ，则AB AD AA1 MN _MN 正解：解析 MN MB BC CN ( )12AB AD 12CB BB1 ( )12AB AD 12 AD AA1 .12AB 12AD 12AA1 正解依据：（1）掌握好向量加、减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量的和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果考点 3：对数函数的性质 例 4已知点 G是 ABC的重心， O是空间任意一点，若 ，求 的值OA OB OC OG 正解：解连结 CG并延长交 AB于 D，则 D为 AB中点，且 CG2 GD， OA OB OC 新高二数学教师讲义2 OG GA OG GB OG GC 3 OG GA GB GC 3 2 OG GD GC 3 3 .OG ( ) GC GC OG 3.正解依据：（1）根据向量加减运算的法则进行化简，注意向量的起点、终点；（2）几何与向量结合及数形结合是常见的数学方法.【易错题纠正案】 （不少于 3道例题）例 1 下列说法正确的是(A)A向量 与 的长度相等BurB将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等例 2 在空间四边形 ABCD中，2 _ABurCrADuBr答案：0例 3 已知空间四边形 ，连结 ，设 分别是 的中点，化简下D,MG,C列各表达式，并标出化简结果向量：（1） ；rr（2） ；（3） ()ABCurr1()2G正解：解：如图，（1） ；Aur（2） ()DBDrrur；ABMu（3） ()GCGMrrr【高考试题链接】例 1 （2011上海高考理科T17） 设 12345,A是平面上给定的 5个不同点，则使 2345MAururr0成立的点 的个数为（ ）（A）0. （B）1. （C）5. （D）10 .正解：在平面中我们知道“三角形 ABC的重心 G满足： 0ABGCurr”则此题就能很快的答出，点 M即为这 5个点的重心，即点 M只有一个点。【双基夯实训练】一、选择题（答案直接附在题后）1下列说法中正确的是 (B)A若| a| b|，则 a、 b的长度相同，方向相同或相反BCDM GA 新高二数学教师讲义3B若向量 a是向量 b的相反向量，则| a| b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD中，一定有 AB AD AC 2在平行六面体 ABCD A B C D的棱所在向量中，与向量 模相等的向量有 (AA C)A0 个 B3 个 C7 个 D9 个3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量 的共有(D)AC1 (1)( )AB BC CC1 (2)( )AA1 A1D1 D1C1 (3)( )AB BB1 B1C1 (4)( ) .AA1 A1B1 B1C1 A1 个 B2 个C3 个 D4 个4已知 G是正方形 ABCD的中心，点 P为正方形 ABCD所在平面外一点，则 (A)PA PB PC PD A4 B3PG PG C2 D.PG PG 5如图所示，空间四边形 OABC中， a， b， c, 点 M在 OA上，且 2 ， NOA OB OC OM MA 为 BC中点，则 等于(B)MN A. a b c12 23 12B a b c23 12 12C. a b c12 12 23D. a b c23 23 126已知正方体 ABCD A B C D ，点 E是 A C的中点，点 F是 AE的三等分点，且AF EF，则 等于(D)12 AF 新高二数学教师讲义4A. B. AA 12AB 12AD 12AA 12AB 12AD C. D. 12AA 16AB 16AD 13AA 16AB 16AD 二、填空题（答案直接附在题后）7对于空间中的非零向量 、 、 ，有下列各式： ； ；|AB BC AC AB BC AC AB AC BC | | |；| | | |.其中一定不成立的是_AB BC AC AB AC BC 8设 A， B， C， D为空间任意四点，则 _.AC BC BD 答案 AD 9已知点 M是 ABC的重心，则 _MA MB MC 答案010在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量表达式 的化简结果为_AB CD BC DA 答案2 AC 三、解答题（答案直接附在题后）11如图，在长、宽、高分别为 AB3， AD2， AA11 的长方体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的所有向量；5(3)试写出与 相等的所有向量；AB (4)试写出 的相反向量AA1 解(1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4条高所对应的向量 、 、 、 、 、AA1 A1A BB1 B1B CC1 、 、 共 8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共 8C1C DD1 D1D 个(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 ，故模为 的向量有 、5 5 AD1 、 、 、 、 、 、 ，共 8个D1A A1D DA1 BC1 C1B B1C CB1 (3)与向量 相等的所有向量(除它自身之外)共有 、 及 ，共 3个AB A1B1 DC D1C1 (4)向量 的相反向量为 、 、 、 ，共 4个AA1 A1A B1B C1C D1D 新高二数学教师讲义512在四面体 ABCD中， E、 F分别为棱 AC、 BD的中点，求证： 4 .AB CB AD CD EF 证明左( )( )AB AD CB CD 2 2 2( )4 右得证AF CF AF CF EF 13 A是 BCD所在平面外一点， M， N分别是 ABC和 ACD的重心，若 BD4 试求 MN的长解析连 AM并延长与 BC相交于 E，又连 AN并延长与 CD相交于 F，则 E、 F分别是 BC和 CD之中点，由 MN AN AM 23AF 23AE ( )23AF AE 23EF ( ) ( )23CF CE 2312CD 12CB ( )13CD CB 13BD | | | | .MN 13BD 4314如图所示，在四面体 OABC中， a， b， c， DOA OB OC 为 BC的中点， E为 AD的中点，试用 a， b， c表示向量 .OE 解析 E为 AD的中点，根据向量的平行四边形法则得 ( )，OE 12OA OD 同理，可得 ( )，OD 12OB OC OE 12OA 14OB 14OC a b c.12 14 1415如图所示，已知矩形 ABCD， P为平面 ABCD外一点，且PA平面 ABCD， M、 N分别为 PC、 PD上的点，且 PM MC21 ， N为 PD中点，求满足 x y z 的实数 x、 y、 z的值MN AB AD AP 解析在 PD上取一点 F，使 PF FD21，连结 MF，则 MN MF FN 新高二数学教师讲义6而 FN DN DF 12DP 13DP ( )， .16DP 16AP AD MF 23CD 23BA 23AB ，MN 23AB 16AD 16AP x y z .23 16 16第三章空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.2 空间向量的数乘运算【考点同步解读】1理解空间向量数乘运算的含义及运算律，并能进行向量数乘运算.2掌握向量的共线与共面定理,能够运用定理证明线线,线面,面面之间的平行关系. 考点 1：考点 2：空间向量共线,共面定理例 1 有下列命题：若 p xa yb，则 p与 a， b共面；若 p与 a， b共面，则 p xa