第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题 2-1 图所示的模型，房顶质量为 m，视为一刚性杆；柱子高 h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为 EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为 k则 mg其中 为两根杆的静形变量，由材料力学易知=324hEJ则 k= 324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 mxk所以固有频率 3n24mhJp2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题 2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角 2ah 2Fmg由动量矩定理： ahmgaFaMmlI 82cosin122&其中 12siFsin2 F hmgFhlgapmln2223041&ghallTn322-3 求题 2-3 图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 1k和 3，悬臂梁的质量忽略不计。解：悬臂梁可看成刚度分别为 k1 和 k3 的弹簧，因此， k1 与 k2 串联，设总刚度为 k1。k 1与 k3并联，设总刚度为 k2。 k2与 k4 串联，设总刚度为 k。即为1k， 13， 421232144)( 42232442 kkmp2-4 求题 2-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中 1J、 2和 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为 G。解： 11/lGk（1）22J（2）33/l（3）)(2322lJk（4） )(/)()41/ 2313213223 lJIlJllJGPInn 由由2-4 如题 2-5 图所示，质量为 2m的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为： 222221 11 RxIrxmxxmT &系统的势能为： 221kRkU总能量 22122143xkRxImUTE &由于能量守恒 0230d2121 xkRxImt &消去 x得系统的运动方程为： 2121 I系统的固有频率为： 2113RImkp2-5 如题 2-6 图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为 0I，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的 角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为)sin(tp。 很小，系统的动能为 2212 )()(&laITOcotn所以， 2212max lpampI nnnO取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为 321,，由0)(FO， 02311 lkbgak（A）由题意可知，系统势能为 agmlkbV 12232311 )(1)()(2 （B）将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为， 22321max lkkk由， maxVT得 2212 lppI nnnO 223211lkbkak所以，有 213laIkbk2-6 一个有阻尼的弹簧-质量系统，质量为 10 kg，弹簧静伸长是 1cm，自由振动 20 个循环后，OmgXOYOFKFC振幅从 0.64 cm 减至 0.16cm，求阻尼系数 c。解：振动衰减曲线得包络方程为： ntXAe振动 20 个循环后，振幅比为：20.641Tdln420Td代入 215,得：22ln4()0nPN又 nstgPd2l4()021Nc = 6.9 N s /m3mkla， 2nlkap2-7 一长度为 l、质量为 m 的均质刚性杆铰接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和阻尼固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2） 。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：020aklcI&mcnlkaplcm320322Q当 np n 时，c c C 323mklanC2-8 如题 2-9 图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。解： 22222222242242014nncdnIkbcamlllkbplcampbkllakbcapmllklml&Q当 时2-9 如题 2-10 图所示，质量为 2000 kg 的重物以 3 cm/s 的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为 022xpnx&所以有 +cm+kx =0其特征方程为： 2r+1960r+482=0 r =-0.49 4.875i所以：x = 1c.4tecos4.875t+ c0.9tesin4.875t由于 n t1 时， 0)(，则有 01)si)(nnr ttbtndtmb1 )(si(i2ppn2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题 2-20 图所示支承运动的响应。解：系统运动的微分方程为 )(sxkm&由图得支承运动方程为 12100)(ttaxs当 0 23123216.4007840768laEJlmEJ 解得：12334.9,19.ppll5-4 用邓克莱法求题 4-5 系统的基频。解：按材料力学挠度公式，则有 2214356llEJ2148ll2234356llJ, 123m由邓克莱公式得 22131ppm22348616lllEI30.7213.5Jpml题 4-5 图题 4-5 图134.75EJpml5-5 用邓克莱法求题 4-7 系统的基频。解：由材料力学知， 13124EJh1324Jh132EJ同理： 23233 4EJh由邓克莱法知：mmP8332121 解之得： 38.hEJp5-6 用矩阵迭代法计算题 4-5 系统的固有频率和主振型。解：由材料力学的知识得柔度矩阵为 917683EJlm0M可得到动力矩阵：3917678lDEJ对初始假设矩阵 01,TA进行迭代3 330921768.4078766ml mllDAEJEJJ3 3 311.1.4052.14687879.4l l mlE3 3 32 .1.1. .8766151ml ml lDAEJEJJ32321.5476lPJQ138.Jml3.9l与之对应的第一阶主振型： 1.0,41.0TA下面是求第二阶主频率和主振型： 21MPT*D=3. -.2 -.30.1 .0 .14lEJ题 4-7 图题 4-5 图01,T2A经过 6 次迭代， 1.0,.0T221384EJPml1396Jl下面是求第二阶主频率和主振型： 2*MPTAD=3 0.1 -.02 -.53 .5 . .1mlEJ301,T经过 1 次迭代， 31.0,1.0T23384EJPml396Jl5-8 用矩阵迭代法计算题 4-8 系统的固有频率和主振型。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为 m0M， k3K214k可得动力矩阵 D= 214km0= 214k设初始假设振型 0A=T1进行迭代 经过一次迭代后 得0D214km= 1km= 1A由于 A所以 k21即k21与之对应的第一阶主振型为 T)(又由于 m3)()1(1A10)1(T所以可得含清除矩阵的动力矩阵题 4-8 图A212)(21)* kmDT选取初始假设振型 T)(0A)2(0*D21k= 16k=)2(1Akm第二次迭代 )2(1* km= 4=)2(k由于 )2(1所以 k4 所以 k42与之对应的第二阶主振型为 )2(A=T1由于 A)2()2(6m 12401)(2) mT所以可得动力矩阵 30)(2)* kDT假设 T21)3(0A)3(0*D1082304kmkm=)3(1A第二次迭代 A)3(1*)3(24 kmkk由于)3(2所以 km43所以23所以第三阶振型为 T10)(综上所得可以写出主振型 A2固有频率为 mk1，k2， mk3 第六章6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动(1) 常力 F 作用于杆的中点，如题 6-2(a) 图所示；(2) 常力 F 作用于杆的三分之一点处，如题 6-2(b) 图所示；(3) 两个大小相等、方向相反的常力 F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图 6-2(c)所示。解：（1 ） 根据题意 ， 0t时杆内的应变0/2PEA杆的初始条件为 00 /2,xluxlx因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为 1,sin,2iiaPilUxDxEa将主振型代入归一化条件，得 20sin1liAxdlDl得到正则振型 2sin1,2iUxxiAl得到以正则坐标表示的初始条件为 20 0i sin1,2li ii luDdADlxi 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 cosiiipt于是杆的自由振动 ,uxt2 01,21,2sinsincoi i ii i lUtDxAptl0221,sn4icoiilxptl1221,3siipl atEAll（2 ） 根据题意 ， 0t时杆内的应变120/3/PPEAEA设杆的初始条件为 102/3,xluxlx02/331lxll因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为 1,2siniiaPilUxDx将主振型代入归一化条件，得 20i1liAdll得到正则振型 2sin1,2iUxxiAl得到以正则坐标表示的初始条件为 20 0i sin31,2li ii luDdADlxi 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 cosiiipt于是杆的自由振动 ,uxt2 01,21,2sinsinco3i i ii i lUtDxAptl0221,sn3icoiilxpt