64习 题 4.3 导数四则运算和反函数求导法则 用定义证明 。(cos)inx证 由于，2sin)si(2c)cs( xxx根据 的连续性和 ，可知inxsin()0:0 00sico()colimlimsn()lsin2x xxx x。2. 证明： ；xxcsot)(cs ；xx2cs)(ot ；ar12 ；21tar ；(ch)121x 。(th)(ct)1 2xx解（1） 。xxsotsincsi)(sin)( 22 （2） 。xx 2222 ci1taet)(ta1)(cot （3） 。21)rcsin()(rsx（4） 。2at2cotax（5） 。1 22(h)()shc1yyx （6） ，12221(t)=(tetx65。122211(cth)(t)cshtxyyx3. 求下列函数的导函数： ；xxflnsi3)( ；3cos)(2xxf ；)si275 ；)ectan2 ；fxx()esinco43 ；fxx()si23 ；f()s1 ；f()inl1 ；xflncot)(3 ；fxx()sicon ；f xeg)arsin3 ；f sh)l32 ；x()sc ；xxtanrcsi)(解 （1） 。xxf 21cos3)(ln)i3 （2） 。xxf incos)( 2（3） )(s57(in)572xxx。co)s(2（4） )se2tan3(eta3) 22 xxxxf 。csc)scn(（5） )(o4(ii) xxexf 。32(sinco)sinxe（6） )(i()2i() 323xxfx66。3532)2sin()lncos21( xxx（7） 。22)cos(1i)s()xf（8） 2)1( )1(lnilni) xxf。22)( )l2si(cossi(x（9）332(t)lntln) xfx。232(cs)lcotx（10） )sino1()xf2)cosin( )cosin()cxxx。2)cosin(2x（11） )(arcsinlog(arilg) 33 xexef 。21lcsn)l1(x（12） 2()cs3)h(3n)(shf xxlnsx xxxch)ln3(cs)2(l(c)cs(ot 22 。hn3sh32xx（13） 2)c()cs(e)sec() xxf 。2)s( )ot1()tan1( xx67（14） xxxxf 2arctn)(arctnsi()sin() 。222t)1(io4. 求曲线 在 处的切线方程和法线方程。yxlne,)解 因为 ，切线方程为ex)(,1()xye法线方程为。2()1(1)yexx5. 当 取何值时，直线 能与曲线 相切，切点在哪里？a yxalog解 设切点为 ，由于 是 的切线，其斜率为),(0xxy()f1，所以 ，故 。又由 ，得1ln)(0axf axln10 00ln()logaxfx到，即 ，从而 ，切点为 。1ln0xex01e),(e6 求曲线 （ ）上过点 的切线与 轴的交点的横坐标ynNx，并求出极限 。xnlim()nx解 因为 ，所以过点 的切线为 ，它yx1)( (,)11)(xny与轴交点的横坐标为 ，因此 xn。exyn1)(lim)(li 7. 对于抛物线 ，设集合abc2；),(|),(S1 切 线可 以 作 该 抛 物 线 的 两 条过 yx68；S(,)|(,) 2xy过 只 可 以 作 该 抛 物 线 的 一 条 切 线，|3过 不 能 作 该 抛 物 线 的 切 线请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。解 ，不妨设 ，抛物线开口向上。过 可以作该抛物线0a0a),(yx两条切线当且仅当 在该抛物线的下方，即 。同理),(yx cba2当时, ，因此0acbxay2。0)(|),21 ycbxayS过 只可以作该抛物线一条切线当且仅当 在该抛物线上，),(yx ),(yx所以。0|),(22ycbxayxS由此得到。)(|),)(2213 ycxyxCU8. 设 在 处可导， 在 处不可导，证明f0g0在 处也不可导。cfxg12()2(cx 设 与 在 处都不可导, 能否断定 在f0 )(21xgcf处一定可导或一定不可导？x0解 （1）记 ，当 时，如果 在 处可导，)()(21xgcfxh2c)(xh0则 在 处也可导，从而产生矛盾。/)(cg0（2）不能断定。如 ，当 时， 在)(xf 21c)(21xgcf处是可导的；当 时， 在 处不可导。0x21c)(xgf09. 在上题的条件下，讨论 在 处的可导情况。fxg()069解 函数 在 处可导， 在 处不可导，则()fxc0()|gx0当 时在 处可导，当 时在 处不可导。fxg()0cc函数 在 处都不可导，但 在 处可()|fx 2()fxx导。函数 在 处都不可导， 在sgn|0xsgn|处也不可导。0x10设 （ ）为同一区间上的可导函数，证明)(xfijji,21,L。nk nnnkknnnnn xfxfffff xfxffxfxfffffdx1211212122121 )()()()()()()(LMLLM证 根据行列式的定义 11212212()()()()nnnnfxffxdfffLM1212() ()n nNkkkxfxdxLL1212 1212()()()()()n n nnkkkkkkfffxffxx L L12122()()()()()()nnnffffxffxLMM11212 212()()()()()()nnnnfffxxfffLM1122 212()()()nnnxffffxffL70112112()()()()nnkkknnnfxffxffffxffxLML。