第二章 推理与证明 人教 A 版数学 2 2 直接证明与间接证明 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 1 知识与技能 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点 2 过程与方法 进一步体会合情推理 、 演绎推理以及二者之间的联系与差异 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 本节重点：综合法和分析法的概念及思考过程 、 特点 本节难点：运用综合法和分析法解答问题 从实际问题中命题的条件或结论出发 ， 根据已知的定义 、 公理 、 定理 ， 直接推证结果的真实性 ， 从证明过程上认识分析法和综合法的推理过程 ， 学会用分析法和综合法证明实际问题 ， 并且理解分析法和综合法之间的内在联系 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 综合法 分析法 定义 利用 和某些数学 、 、 等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法 从要证明的 ，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件 )、 、 、 等 )，这种证明方法叫做分析法 框 图 表 示 ( 、已有的 、 、 等， ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法 已知条件 定义 定理 公理 推理论证 结论出发 充分条件 定理 定义 公理 已知条件 定义 定理 公理 所要证明的结论 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 例 1 已知 a ， b 是正数，且 a b 1 ， 求证：1a1b 4. 分析 由题目可获取以下主要信息： a ， b 是正数且 a b 1 ； 求证的是1a1b 4. 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 证明 方法一： a ， b 是正数且 a b 1 ， a b 2 12， 14，14. 1a1ba 4. 方法二： a ， b 是正数， a b 2 0 ，1a1b 210 ， ( a b )(1a1b) 4. 又 a b 1 ， 1a1b 4. 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 方法三：1a1ba baa 1 ba1 2 2. 当且仅当 a b 时，取 “ ” 号 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 点评 第一步：分析条件 ， 选择方向 仔细分析题目的已知条件 (包括隐含条件 )， 分析已知与结论之间的联系与区别 ，选择相关的公理 、 定理 、 公式 、 结论 ， 确定恰当的解题方法 第二步：转化条件 ， 组织过程 把题目的已知条件 ，转化成解题所需要的语言 ， 主要是文字 、 符号 、 图形三种语言之间的转化 组织过程时要有严密的逻辑 ， 简洁的语言 ， 清晰的思路 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 2 综合法证明不等式依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不 等式，其中常用的有如下几个： 0( a R ) ( a b )2 0( a 、 b R ) ，其变形有 2 (a a b )22. 第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 若 a 、 b (0 ， ) ，则a 特别是ba2. 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 例 2 设 a ， b 为实数，求证 2( a b ) 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 证明 当 a b 0 时， 0 ， 2( a b ) 成立 当 a b 0 时， 用分析法证明如下： 要证 2( a b ) ， 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 只需证 ( 22( a b )2. 即证 2( 2 ，即证 2 2 一切实数恒成立， 2( a b ) 成立综上所述，不等式得证 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 点评 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质 、 已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发 ，逐步寻求使它成立的充分条件 ， 最后得到的充分条件是已知 (或已证 )的不等式； (3)用分析法证明数学命题时 ， 一定要恰当地用好 “ 要证 ” 、 “ 只需证 ” 、 “ 即证 ” 等词语 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 例 3 已知 a 、 b 、 c 是不全相等的正数，且 0 x lo 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 分析 由题目可获取以下主要信息： a、 b、 所求的不等式是以对数形式给出且底数 0 x 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 解析 要证明： 只需要证明 a b2b c2a ) 由已知 0 x 1 ，只需证明a b2b c2a 由公式a 0 ，b 0 ，a 0. 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 又 a ， b ， c 是不全相等的正数， a b2b c2a 即：a b2b c2a 立 立 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 点评 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 ，即可得证 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 一、选择题 1 a 0 ， b 0 ，则下列不等式中不成立的是 ( ) A a b 12 2 B ( a b )1a1b 4 a b D.2 b 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 解析 a 0 ， b 0 ， 2 b 答案 D 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 2 若 a 、 b 、 c R ，且 1 ，则下列不等式成立的是 ( ) A 2 B ( a b c )2 3 b1c 2 3 D a b c ) 13第二章 推理与证明 人教 A 版数学 答案 B 解析 a、 b、 c R， c21 又 (a b c)2 222 23. 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 3 下面叙述正确的是 ( ) A 综合法 、 分析法是直接证明的方法 B 综合法是直接证法 ， 分析法是间接证法 C 综合法 、 分析法所用语气都是肯定的 D 综合法 、 分析法所用语气都是假定的 答案 A 解析 在分析法中的语气即有肯定又有否定两种证明方法均是直接证明 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 4 A、 A B是 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 解析 A B a b ，又 2 R ， 2 R 2 R ， ，反之亦然 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 二、填空题 5 设 a 0 ， b 0 ， c 0 ，若 a b c 1 ，则1a1b1_ 答案 9 第二章 推理与证明 人教 A 版数学 解析 a 0 ， b 0 ， c 0 ， a b c 1 ， 1a1b1ca b caa b cba b 3 baabcaaccb3 2ba2ca2cb9 当且仅当 a b c