2.3.3 由微分方程求状态空间表达式,1系统的实现问题系统的实现:根据系统的外部描述构造一个内部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系，又要将系统的内部结构确定下来。这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们可以从输入输出关系描述建立状态空间描述，这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍的是通过机理分析建立状态空间描述）。这时，一般描述为 (2.42),状态变量选为 则 由微分方程有所以 因此，系统的状态方程为,(2.43a)因此，系统的状态方程为输出方程为 (2.43b)由微分方程 所以 (2.44b),表达为矩阵形式 (2.44a),例2.10 已知系统的微分方程为 ,求状态空间表达式。 解 选取状态变量为 ， ， ，则由式(2.44)得状态空间描述为 3微分方程含有输入的导数项,这时，一般描述为 (2.45)状态变量的选取：对于这种情况不能选输出及其各阶导数作为状态变量。因为如果把 ， ， 作为状态变量，则状态方程为,这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此，在这种情况下，不能选择 ， ， 作为状态变量。 （1）方法一 选取系统的状态变量为,(2.46) 其中 ， ， ，是个待定系数。整理上式可得 (2.47),对式(2.46)中最后一式求导，得 (2.48)由微分方程(2.45)得 (2.49),将式(2.49)代入式(2.48)得 (2.50),选择待定系数，使中输入信号的各阶导数项的系数均为零，即 (2.51)且令 中输入项的系数为 ，即 (2.52),则 (2.53)联立式(2.47)，(2.53)即为状态方程 (2.54)矩阵形式为 (2.55a),输出方程为 (2.55b)其中 , ， ，由式(2.51)和式(2.52)确定，写成如下便于记忆的矩阵形式 （2.56a）,（2.56a）,另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实现可以构造一个与原系统输入输出等价的系统以便进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，改善系统控制特性。 2微分方程不含有输入的导数项则 （2.56b）,因此有 （2.57） 从式（2.56）可见，当 ， 时可得 ， ，代入式(2.55)可得式(2.44)，就是前面讨论的微分方程不含有输入导数项的情况的结果。,例2.11 以知系统的微分方程为 求系统的状态空间表达式。 解 由式（2.57）得,取状态变量为 由式(2.55a)得系统的状态空间表达式描述为,（2）方法二这种方法的思路是基于方框图变换，与微分方程(2.45)等效的方框图如图（2.8a）所示，等效变换为图（2.8b）。,引入中间变量z，则微分方程(2.45)可以化成下面两个方程表示 （2.58a） （2.58b）取状态变量 ， ， ， 则,所以，状态方程为 或 (2.59a),由式(2.58)得输出方程为 (2.59b)一般 ，则 (2.59c)这种方案选择的状态变量已不具有明显的物理意义，但便于记忆。,例2.12 以知系统的微分方程为 求系统的状态空间描述。解 由式（2.59）得状态空间描述为 由输入输出描述构造状态空间描述，即系统实现问题的方法还很多，例如由传递函数构造状态空间表达式。,2.4 传递函数,2.4.1 传递函数与脉冲响应函数的定义设描述线性定常系统的微分方程为 (2.60)因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，设系统的初始条件为零。在零初始条件下，对式（2.60）取拉氏变换,记 （2.61） 反映了系统输出与输入之间的关系，描述了系统的特性，通常称为线性定常系统（环节）的传递函数。 定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数，记为 。,显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为 （2.62）系统的输出为 （2.63)由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为 所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为,单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t),则 （2.64） 可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数。,定义 在零初始条件下，线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应，称为该系统的脉冲响应函数，记为 g(t)。 2.4.2 传递函数的表达式 传递函数一般是复变函数，可以变换为各种形式。,1有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 （2.65） 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。,分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。 2零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 nm （2.66）,式中 ，称为系统的零点； 为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。 系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。在零极点图上，用“ ”表示极点位置，用“ ”表示零点,状态变量选为 则 位置。,例如，传递函数 的零极点图如图2.9所示。,3时间常数形式 将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 （2.67） （2.68）,式中，K为传递系数，通常也为系统的放大系数； 为系统的时间常数。2.4.3 线性系统的基本环节1问题的提出不同性质的物理系统常常有相同的数学模型。任何线性连续系统的数学模型可以看作一些基本环节组合而成 。,2传递函数的一般形式 纯滞后现象：实际系统大多数都有延时效应，即在输入作用一段时间后，系统才有输出响应，在时间内输入虽然作了变化，但系统输出量并不作相应变化。输出量的变化落后于输入量变化的时间称为纯滞后时间。,例2.13 图2.10所示为溶解槽溶解系统，料斗中的溶质用皮带输送机送至加料口。若在料斗处加大送料量，溶解槽中的溶液浓度要等增加的溶质由料斗送到加料口并落入槽中后才改变，也就是说，溶液浓度的变化比加料量的改变落后输送带输送的时间，这就是纯滞后现象，纯滞后时间为,下面推导该系统的传递函数。首先不考虑纯滞后，即假设料斗的溶质直接落入溶解槽，则溶液浓度与料斗加料量的关系为 传递函数为 当溶质由输送机输送时，即考虑纯滞后，其微分方程应为,或 由拉氏变换实位移定理可导出系统的传递函数： 即,