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12012 年北京模考试题分类(理科)三角函数与三角形1.在 中,角 , , 的对边分别为 , 且 , , 成等差数列.ABCBC,abcABC()若 , ,求 的值;()设 ,求 的最大值.13b=acsintt2. 已知函数 .()若 ,求 的值;(II )设()os)4fx72()10fi,求函数 在区间 上的最大值和最小值.()2gxf()gx,633. 已知函数 .2()sincosinfx()求 的最小正周期;()若函数 的图 象是由 的图()ygx()yfx象向右平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到的,当 , 8 04时,求 的最大值和最小值.()ygx4. 在 中,角 , , 所对应的边分别为 , , ,且ABCBCabcbcaos)2(()求角 的大小;()若 ,求 的面积.2cos,aAB5. 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且sincosaBbCB()判断ABC 的形状;()若 ,求 的取值范围121()cos3fxx()f6. 已知函数 ()求 的值; s()in612()若对于任意的 ,都有 ,求实数 的取值范围0,2x()fxcc7. 已知函数 的图象过点 . 23sincosf m)R(,0)12M()求 的值;()在 中,角 , , 的对边分别是 , , .mABCBCabc若 ,求 的取值范围cos+=2csBbCa()f28. 已知函数 ()求 的值;()求函()cos(3sin)3fxx()3f数 在区间 上的最小值,并求使 取得最小值时的 x 的值y0,2yx9. 已知函数 ()si()fxAx(其中 R, 0A, ,2)的部分图象如图所示.()求函数 (f的解析式; ()已知在函数 ()fx的图象上的三点 ,MNP的横 坐标分别为 1,5,求sinMNP的值.概率与统计1. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是 ,样本0,1数据分组为 , , , , .0,2),40),6)0,8),1()求直方图中 的值;x()如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿;()从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 ,求 的分布列X和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率)2. 某次有 1000 人参加的数学摸底考试,其成绩的频率分布直方图如图所示,规定 85 分及其以上为优秀. ()下表是这次考试成绩的频数分布表,求正整数 a, b 的值;区间 75,80) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100人数 50 a 350 300 b(II)现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成绩进行分析,求y x21023456时时/时时时时x0.0030.00650.02510080604020O8580 90 10095O频 率组 距分数750.010.020.030.040.050.060.073其中成绩为优秀的学生人数;()在(II)中抽取的 40 名学生中,要随机选取 2 名学生参加座谈会,记“其中成绩为优秀的人数”为 X,求 X 的分布列与数学期望.3. 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 ,二等品率为 ;80%20乙产品的一等品率为 ,二等品率为 .生产 件甲产品,若是一等品,90%10则获利 万元,若是二等品,则亏损 万元;生产 件乙产品,若是一等品,4则获利 万元,若是二等品,则亏损 万元.两种产品生产的质量相互独立.62()设生产 件甲产品和 件乙产品可获得的总利润为 (单位:万元) ,求11X的分布列;X()求生产 件甲产品所获得的利润不少于 万元的概率.4104. 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 ,乙每次31投中的概率为 ,每人分别进行三次投篮21()记甲投中的次数为 , 求 的分布列及数学期望 E ;()求乙至多投中 2 次的概率;()求乙恰好比甲多投进 2 次的概率5. 某班共有学生 40 人,将一次数学考试成绩(单位:分)绘制成频率分布直方图,如图所示 ()请根据图中所给数据,求出 a 的值;()从成绩在 内的学生中随机选 3 名学生,求这 3 名学生的成绩都在50,7)内的概率;6,)()为了了解学生本次考试的失分情况,从成绩在 内的学生中随机选50,7)取 3 人的成绩进行分析,用 X 表示所选学生成绩在 内的人数,求 X6的分布列和数学期望45. 甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的 道题中,甲答对其中每道题的10概率都是 ,乙能答对其中的 道题规定每次考试都从备选的 道题中随机53510抽出 道题进行测试,答对一题加 分,答错一题(不答视为答错)减 分,5至少得 分才能入选1()求乙得分的分布列和数学期望;()求甲、乙两人中至少有一人入选的概率6. 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为 24, ;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为 42, ;两人租车时间都不会超过三小时.()求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;()设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求 的分布列与数学期望 E.7. 某商场举办促销抽奖活动,奖券上印有数字 100,80,60,0凡顾客当天在该商场消费每超过 1000 元,即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张,商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金(单位:元) 设奖券上的数字为 , 的分布列如下表所示,且 的数学期望 E=22 100 80 60 0P 0.05 a b 0.7()求 a,b 的值; ()若某顾客当天在商场消费 2500 元,求该顾客获得奖金数不少于 160元的概率8. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球与编号为 1,2,3,4 的 4 个白球,从中任意取出 3 个球.()求取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率; ()求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率;()记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值,求 X 的分布列与数学期望.9. 某公司准备将 100 万元资金投入代理销售业务,现有 A,B 两个项目可供选择:(1)投资 A 项目一年后获得的利润 X1(万元) 的概率分布列如下表所示:X1 11 12 17P a 0.4 b且 X1 的数学期望 E(X1)=12;(2)投资 B 项目一年后获得的利润 X2(万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B项目产品价格根据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格调整的概率分别为 p(00 时,函数 f(x)在区间1,e上的最小值为-2,求 a 的取值范围;()若对任意 , ,且 恒成立,求 a12,0,1212()+()fxfx的取值范围5. 已知函数 ()lnfxax( a) ()试讨论 在区间 (0,1上的单调性;()当 3,时,曲线 ()yf上总存在相异两点 1(,)Pxf,ECBDMAF92(,)Qxf,使得曲线 ()yfx在点 P, Q处的切线互相平行,求证:165. 6. 已知函数 .2()lnfxa()若函数 的图象在 处的切线斜率为 ,求实数 的值;(,2)f 1a()求函数 的单调区间;()fx()若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围.2()gf1,7. 已知函数 ,其中 2()axfaR()当 时,求曲线 在原点处的切线方程;1()yfx()求 的单调区间;)(xf()若 在 上存在最大值和最小值,求 的取值范围0,)a8. 设函数 ()ln(l)fxax(0a()当 时,求函数 的最小值;1af()证明:对 x1,x 2 R+,都有 ;121212lnl()ln()lxxx()若 ,证明: 21ni21llnnii*(,)iN9. 已知函数 .2()l()(0)fxaxa()求 的单调区间;()若 ,求证:函数 只有一个零点 ,且12(ln1)()fx0x;0ax()当 时,记函数 的零点为 ,若对任意 且45()fx0x120,x都有 成立,求实数 的最大值.21,x21(fm(本题可参考数据: )ln0.7,l.8,ln541010. 已知函数 2()ln(0)afxx()若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求实数 的yf1,f 20xya值;()讨论函数 的单调性;()fx()当 时,记函数 的最小值为 ,求证: ,0a()fx()ga21()ega圆锥曲线1 在平面直角坐标系 中,椭圆 的中心为坐标原点,左焦点为 ,xOyG1(,0)F为椭圆 的上顶点,且 .PG145PF()求椭圆 的标准方程;()已知直线 : 与椭圆 交于 , 两1l1ykxmAB点, 直线 : ( )与椭圆 交于 ,222GC两点,且 ,如图所示.D|ABCD()证明: ;120m()求四边形 的面积 的最大值.S2. 已知椭圆 的两个焦点分别为 , .点2:1(0)xyCab1(2,0)F2(,)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1,0)M()求椭圆 的方程;()已知点 的坐标为 ,点 的坐标为 .过点 任作直线N(3,2)P(,)3mnM与椭圆 相交于 , 两点,设直线 , , 的斜率分别为 , ,lCABANB1k2,若 ,试求 满足的关系式.3k132k,mnl2l1 yxODCBA113. 已知椭圆 : 的离心率是 ,其左、右顶点分别为 ,C210xyab121A, 为短轴的端点, 的面积为 2AB12AB3()求椭圆 的方程 ;() 为椭圆 的右焦点,若点 是椭圆 上异于 , 的任意一点,直线2FPC1A2, 与直线 分别交于 , 两点,证明:以 为直径的圆1P4xMNMN与直线 相切于点 22F4. 已知椭圆 ( )右顶点与右焦点的距离为 ,短轴长12byax0ba 31为 .()求椭圆的方程; ()过左焦点 的直线与椭圆分别交于2 F、 两点,若三角形 的面积为 ,求直线 的方程ABOAB324AB5. 已知椭圆 C: 的离心率为 ,且经过点 21(0)xyab(2,0)M()求椭圆 C 的标准方程;()设直线 l: 与椭圆 C 相交于 , 两点,连接ykxm1(,)Axy2(,)ByMA,MB 并延长交直线 x=4 于 P,Q 两点,设 yP, yQ 分别为点 P,Q 的纵坐标,且 求证:直线 过定点121Pyyl6. 已知抛物线 C: 24x, M为直线 :l1y上任意一点,过点 M作抛物线 的两条切线 ,AB,切点分别为 A, B.()当 M的坐标为 (01)时,求过 三点的圆的方程; ()证明:以 为直径的圆恒过点 .7. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的焦点在 y 轴上,且抛物线上的点P(x0,4) 到焦点
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