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概率论与随机过程第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。(1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分) 。(2) 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。(3) 10 只产品中有 3 只是次品,每次从其中取一只(取出后不放回) ,直到将 3 只次品都取出,记录抽取的次数。(4) 生产产品直到得到 10 件正品,记录生产产品的总件数。(5) 一个小组有 A,B,C,D,E5 个人,要选正副小组长各一人(一个人不能兼二个职务) ,观察选举的结果。(6) 甲乙二人下棋一局,观察棋赛的结果。(7) 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球,在其中任意取 4 只,观察它们具有哪几种颜色。(8) 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品” ,不合格的盖上“次品” ,如连续查出二个次品就停止检查,或检查 4 个产品就停止检查,记录检查的结果。(9) 有 A,B,C 三只盒子, a,b,c 三只球,将三只球装入三只盒子中,使每只盒子装一只球,观察装球的情况。(10) 测量一汽车通过给定点的速度。(11) 将一尺之棰折成三段,观察各段的长度。2. 设 A,B,C 为三事件,用 A,B,C 的运算关系表示下列事件。(1) A 发生,B 与 C 不发生。(2) A 与 B 都发生,而 C 不发生。(3) A,B,C 都发生。(4) A,B,C 中至少有一个发生。(5) A,B,C 都不发生。(6) A,B,C 中至多于一个发生。(7) A,B,C 中至多于二个发生。(8) A,B,C 中至少有二个发生。3. 设 , , , ,具体写出下列各等式102,LS4,325,B7,6C(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 。A)(CBA4. 设 , , ,具体写出下列各式。x12x231x(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。BAB5. 设 A,B ,C 是三事件,且 , , ,求)()(CPA0)()(CBPA81)(AA,B,C 至少有一个发生的概率。6. 在 1500 个产品中有 400 个次品,1100 个正品,任意取 200 个。(1) 求恰有 90 个次品的概率。(2) 至少有 2 个次品的概率。7.(1)在房间里有 500 个人,问至少有一个人的生日是 10 月 1 日的概率是多少(设一年以 365 天计算)?(2)在房间里有 4 个人,问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少?8. 一盒子中有 4 只次品晶体管,6 只正品晶体管,随机地抽取一只测试,直到 4 只次品管子都找到为止。求第 4 只次品管子在下列情况发现的概率。(1) 在第 5 次测试发现。(2) 在第 10 次测试发现。9. 甲、乙位于二个城市,考察这二个城市六月份下雨的情况。以 A,B 分别表示甲,乙二城市出现雨天这一事件。根据以往的气象记录已知 , ,求 , 及4.0)(BPA28.0)()/(BAP)/(。)(BAP10.已知在 10 只晶体管中有 2 只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。(1) 二只都是正品。(2) 二只都是次品。(3) 一只是正品,一只是次品。(4) 第二次取出的是次品。11.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随意地拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?12.某工厂中,机器 分别生产产品总数的 25%,35%和 40%。它们生产的产品中分别有 5%,4%,2%321,B的次品,将这些产品混在一起,今随机地取一只产品,发现是次品。问这一次品是机器 生产321,B的概率分别是多少?13.将二信息分别编码为 A 和 B 传送出去,接收站接收时,A 被误收作 B 的概率为 0.02,而 B 被误收作 A 的概率为 0.01。信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2:1。若接收站收到的信息是 A,问原发信息是 A 的概率是多少?14.如图所示 1,2,3,4,5,6 表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为 ,且设各继电器接p点闭合与否相互独立。求 L 至 R 连通的概率是多少?LR12345615. 对飞机进行三次独立的射击,第一次射击的命中率为 0.4,第二次为 0.5,第三次为 0.7。飞机击中一次而被击落的概率为 0.2,击中二次而被击落的概率为 0.6,若被击中三次则飞机必然被击落,求射击三次而击落飞机的概率。16. 一袋中有 5 只乒乓球,编号为 1,2,3,4,5,在其中同时取三只。以 X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量 X 的概率质函数。17. (1)设随机变量 X 的概率质函数为 , 为常数,试确定常数 。!kaXP0,21,0La(2) 设随机变量 X 的概率质函数为 , ,试确定常数 。NN,18. 设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当 A 发生不少于 3 次时,指示灯发出信号。 (1)进行了 5次独立试验,求指示灯发出信号的概率。 (2)进行了 7 次独立试验,求指示灯发出信号的概率。19. 一电话交换机每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布,求:(1)每分钟恰有 8 次呼唤的概率。(2)每分钟的呼唤次数大于 10 的概率。20. 设随机变量 X 的分布函数为 .0,1)(xexF(1) 求 , (2)求概率密度 。3,2XP)(xf21. 一工厂生产的电子管的寿命 X(以小时计)服从参数为 , 的正态分布,若要求160,允许 最大为多少?80.210XP22. 设随机变量 X 的概率质函数为0 1 31kp5650求 的概率质函数。2XY23. 设 X 的概率密度为,求 的概率密度。其,0)(2xxf sinXY24. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 .,0,20,13),(2yxyxyf求 。1YXP25. 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为其.,0,1)(xxf .0)(y,efY试求随机变量 Z=X+Y 的概率密度。26. 设随机变量(X,Y)的概率密度为。),2exp(21),(yyxf yx,求 的概率密度。Z27. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从 分布,随机地选取 4 只,求其中没有一)20,16(N只寿命小于 180 小时的概率。28. 设随机变量 X 的概率质量函数为-2 0 2kp0.4 0.3 0.3求 。)(),(53E2229. 设 X 服从二项分布,其概率质量函数为求 和 。.10.,21,0,)1( pnkpknPnL)(XE)(D30. 设 X 服从泊松分布,其概率质量函数为求 和 。.0,21,0,!Lkek )()(31. 设 X 服从均匀分布,其概率密度函数为求 和 。其0,)(,bxabxf )(XE)(D32. 设 X 服从正态分布,其概率密度函数为。 求 和 。xxf ,02-xep21)( 其 )(XE)(D33. 有 3 只球,4 只盒子,盒子的编号为 1,2,3,4。将球独立地,随机地放入 4 只盒子中去。以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小号码(例如 X=3 表示第 1 号,第二号盒子是空的,第三只盒子至少有一只球) ,试求 EX,DX。34. 对于任意两个随机变量 X,Y ,证明下式成立:(1) ;),(2)()( YXCovDD(2) 。, ECov35. 设随机变量 X 的概率密度函数为 。求(1)Y=2X , (2) 的数学期望。0x,ef(x) xeY236. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为试确定出常数 ,并求 。其,x,y,xKy)f(x,01K)XY(E37. 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均是 7300,均方差是 700。 利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 52009400 之间的概率。38. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ,其中 为常数。求 和 。0x,e)x(f0)(XE)(D39. 设随机变量 X 的概率密度函数为 ,其中 为常数。求 和 。0,0),2exp()(xf0)(XE)(D40. 设随机变量 X 的概率质量函数为 , 。其中 为常数,则称 X1kqXPL,pq,p1服从参数为 的几何分布。试求 和 。p)(E)(D41. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为. 。求 、 、208y,x,)yx(),(f )(XE)Y(。)Y,X(Cov42. 计算机在进行加法时,对每个加数取整(取为接近于它的整数) ,设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。(1) 若将 1500 个数相加,问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少?(2) 几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率为 0.90?43. (1)一个复杂的系统,由 100 个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用,至少必需有 85 个部件工作,求整个系统工作的概率。(2)一个复杂的系统,由 n 个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性(即部件工作的概率)为 0.90。且必须至少有 80%部件工作才能使整个系统工作,问 n 至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。44. 某个单位设置一电话总机,共有 200 架电话分机。设每个电话分机有 5%的时间要使用外线通话,假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以 90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
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