-第 1 页 北京工业大学经管学院期末试卷离散数学 （A）学号 姓名： 成绩一、单项选择题（每题 2 分，共 18 分）1令 P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“ 虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（D ）AP Q BP QCP Q DP Qpq，蕴涵式，表示假设、条件、 “如果，就”。“”与此题无关2. 关于命题变元 P 和 Q 的极大项 M1 表示( C )。 书 P15-P19，此题换作 p、q 更容易理解A.PQ B.PQ pq - 01- 1 - M1C.PQ D.PQ3.设 R（x）：x 是实数；S（x,y）：x 小于 y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（D ）4.在论域 D=a,b中与公式（ ）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B）A. B. )b(Aa )b(AaC. D. 5下列命题公式为重言式的是（C）AQ（PQ ） BP（PQ ）C （P Q）P D （PQ）Q牢记真假条件，作为选择题可直接代入 0、1，使选项出现 10，排除。熟练的可直接看出 C 不存在 10 的情况6. 设 A=1，2，3 ，B=a,b ，下列二元关系 R 为 A 到 B 的函数的是( A )A. R=,B. R=,C. R=,D. R=, -第 2 页 7.偏序关系具有性质（D ） 背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设 R 为实数集合，映射 则 是( D ).:,R2()1,xx(A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射.书 P96.设函数 f：AB（1）若 ranf=B，则 f 是满射的 【即值域为 B 的全集，在本题中为 R，该二次函数有最高点，不满足】（2）若对于任何的 x1,x2A , x1x2,都有 f(x1)f(x2)，则称 f 是单射的【即 x,y 真正一一对应，甚至不存在一个 y 对应多个 x。显然，本题为二次函数，不满足】（3）若 f 既是满射的，又是单射的，则称 f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】二、填空题（每空 2 分，共 22 分）.设 Q 为有理数集，笛卡尔集 S=QQ，*是 S 上的二元运算， ,S, *=, 则*运算的幺元是_。 S, 若 a0，则的逆元是_ 。书 P123 定义.在个体域 D 中，公式 的真值为假当且仅当_某个 G(x)的真值为假_，公式)x(G的真值为假，当且仅当_所有 G(x)的真值都为假_。)x(G.给定个体域为整数域，若 F（x）：表示 x 是偶数，G（x）：表示 x 是奇数；那么，是一个 永真式 ；而 是一个)()(F )(GF)(永假式 。.设 )R(r,cb,aRA,cba 则上 的 二 元 关 系, ；s(R)= , 。书 P89、P85. -第 3 页 自反闭包：r(R) = R U R0 =, U , =, 对称闭包：s(R) = R U R-1 = , U , = ,传递闭包：t(R) = RUR 2 UR3U. 设 X=1,2,3,Y=a,b，则从 X 到 Y 的不同的函数共有 _8_个. 书 P96，B 上 A 的概念：设、为集合，所有从到的函数构成集合 A ，读作“B 上 A”如果|A| = m，|B| = n，m、n 不全是 0，则|B A| = nm即，若题中给出集合 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，可直接用 nm 计算出 A 到 B 的函数个数。本题中为 23 = 8.设 a,b G，则（a -1） -1= a ， （a b） -1= 。,是 群书 P84 公式7. 设 X=1，2，3，f：XX ，g：XX，f=,g=,，则 f g=_,_，g f=_,oo_。合成：F G = |xGzzFyo三、计算题（每题 9 分，共 36 分）1. 设集合 A1, 2, 3,4,5，A 上的关系 R, (1) 画出 R 的关系图；(2) 问 R 具有关系的哪几种性质 (自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书 P87 表格，根据关系图可直接判断性质(3) 给出 R 的传递闭包。R=, R2 = R R = ,oR3 = R2 R = , -第 4 页 所以，t(R) = ,2. 集合 S=a,b,c,d,e上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆元。* a b c d ea b a c c cb a b c d ec c c c c cd e d c b ae d e c d b幺元：b零元：c逆元：a -1 =a,b-1 =b,c-1 =c,d-1 =d书 P123 定义3求合式公式 A=P(PQ)(Q P) 的主析取范式及成真赋值。A = P(P Q) (QP)= P(PQ) (QP)= P(P QP) (Q QP)= P(Q P)= P(QP)= (P(QQ)(Q P)= (PQ)(PQ)(P Q)= (PQ)(PQ)(P Q)= m0m 1m 3成真赋值为 00，01，114求在 1 到 1000000 之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？韦恩图 -第 5 页 完全平方数的个数：1000 2 =1000000，所以有 1000 个（即 1 到 1000）完全立方数的个数：100 3 =1000000，所以有 100 个（即 1 到 100）既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：10 6 =1000000，所以有 10 个（即 16 到 106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10) = 998910四、证明题（每题 8 分，共 24 分）1若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）2给出关系不满足对称性的条件并证明。3如果关系 R 和 S 为 X 上的等价关系，证明：RS 也是 X 上的等价关系。