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益学国际成长教育专家1益 学 国 际 教 育 学 科 教 师 讲 义讲义编号: 副校长/组长签字: 签字日期: 学 员 编 号 : 年 级 :初一 课 时 数 :3 课时学 员 姓 名 : 辅 导 科 目 :数学 学 科 教 师 :课 题 相交线与平行线课 型 预习课 同步课 复习课 习题课授课日期及时段 2014 年 月 日 教 学 目 的重 难 点教 学 内 容【基础知识总结】两条直线相交线:两线相交,共产生两对对顶角,还引入了邻补角的概念。相交的一种特殊情况是垂直,两条直线交角成 90 。经过直线外一点,作直线的垂线,有且只有一条;点到直线上各点的距离中,垂线段最短。两条直线平行:平行就是指两条直线永不相交。平行线之间的距离处处相等。过直线外一点,作已知直线的平行线,有且只有一条。当同一平面内的三条直线相交时,有三种情况:一种是只有一个交点;一种是有两个交点,即两条直线平行被第三条直线所截;还有一种是三个交点,即三条直线两两相交。两条直线被第三条直线所截,产生两个交点,形成了八个角(不可分的):同位角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 的同侧,在第三条直线 EF 的同旁(即位置相同) ,这样的一对角叫做同位角;内错角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 之间,在第三条直线 EF 的两旁(即位置交错) ,这样的一对角叫做内错角;同旁内角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 之间,在第三条直线 EF 的同旁,这样的一对角叫做同旁内角;两条直线平行,被第三条直线所截,其同位角,内错角,同旁内角有如下关系:两直线平行,被第三条直线所截,同位角相等; 益学国际成长教育专家2两直线平行,被第三条直线所截,内错角相等;两直线平行,被第三条直线所截,同旁内角互补。平行线判定定理:两条直线平行,被第三条直线所截,形成的角有如上所说的性质;那么反过来,如果两条直线被第三条直线所截,形成的同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,是否能证明这两条直线平行呢?答案是可以的。两条直线被第三条直线所截,以下几种情况可以判定这两条直线平行:平行线判定定理 1:同位角相等,两直线平行如图所示,只要满足 1 2(或者3 4; 5 7; 6 8) ,就可以说 AB/CD平行线判定定理 2:内错角相等,两直线平行如图所示,只要满足 6 2(或者 5 4) ,就可以说 AB/CD平行线判定定理 3:同旁内角互补,两直线平行如图所示,只要满足 5+ 2180 (或者 6+ 4180 ) ,就可以说AB/CD平行线判定定理 4:两条直线同时垂直于第三条直线,两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况,由上图中 1 290 就可以得到。平行线判定定理 5:两条直线同时平行于第三条直线,两条直线平行【例题启发与方法总结】1. 相交线同一平面中,两条直线的位置有两种情况:相交:如图所示,直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,其中以 O 为顶点共有 4 个角: 1, 2, 3, 4;邻补角:其中 1 和 2 有一条公共边,且他们的另一边互为反向延长线。像 1 和 2 这样的角我们称他们互为邻补角;对顶角: 1 和 3 有一个公共的顶点 O,并且 1 的两边分别是 3 两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角;1 和 2 互补, 2 和 3 互补,因为同角的补角相等,所以1 3。所以,对顶角相等 益学国际成长教育专家3例题:1.如图,3 12 3,求 1, 2, 3, 4 的度数。2.如图,直线 AB、CD、EF 相交于 O,且 , ,则 _, _。ABCD127FOB C EA 2 O B 1 F D垂直:垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直,其中一条叫做另一条的垂线,它们的交点叫做垂足。如图所示,图中 AB CD,垂足为 O。垂直的两条直线共形成四个直角,每个直角都是 90 。例题:如图,AB CD,垂足为 O,EF 经过点 O, 126 ,求 EOD, 2, 3 的度数。(思考: EOD 可否用途中所示的 4 表示?)垂线相关的基本性质:(1) 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线;(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短;(3) 从直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。例题:假设你在游泳池中的 P 点游泳,AC 是泳池的岸,如果此时你的腿抽筋了,你会选择那条路线游向岸边?为什么? 益学国际成长教育专家4*线段的垂直平分线:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线?2.平行线:在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。平行线公理:经过直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行。如上图,直线 a 与直线 b 平行,记作 a/b3.同一个平面中的三条直线关系:三条直线在一个平面中的位置关系有 4 中情况:有一个交点,有两个交点,有三个交点,没有交点。(1)有一个交点:三条直线相交于同一个点,如图所示,以交点为顶点形成各个角,可以用角的相关知识解决;例题:如图,直线 AB,CD,EF 相交于 O 点, DOB 是它的余角的两倍, AOE2 DOF,且有 OG OA,求 EOG 的度数。(2)有两个交点:(这种情况必然是两条直线平行,被第三条直线所截。 )如图所示,直线 AB,CD 平行,被第三条直线 EF 所截。这三条直线形成了两个顶点,围绕两个顶点的 8 个角之间有三种特殊关系:*同位角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 的同侧,在第三条直线 EF 的同旁(即位置相同) ,这样的一对角叫做同位角; 益学国际成长教育专家5*内错角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 之间,在第三条直线 EF 的两旁(即位置交错) ,这样的一对角叫做内错角;*同旁内角:没有公共顶点的两个角,它们在直线 AB,CD 之间,在第三条直线 EF 的同旁,这样的一对角叫做同旁内角;指出上图中的同位角,内错角,同旁内角。两条直线平行,被第三条直线所截,其同位角,内错角,同旁内角有如下关系:两直线平行,被第三条直线所截,同位角相等; 两直线平行,被第三条直线所截,内错角相等两直线平行,被第三条直线所截,同旁内角互补。如上图,指出相等的各角和互补的角。例题:1.如图,已知 1 2180 , 3180 ,求4 的度数。2.如图所示,AB/CD, A135 , E80 。求 CDE 的度数。平行线判定定理:两条直线平行,被第三条直线所截,形成的角有如上所说的性质;那么反过来,如果两条直线被第三条直线所截,形成的同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,是否能证明这两条直线平行呢?答案是可以的。两条直线被第三条直线所截,以下几种情况可以判定这两条直线平行: 益学国际成长教育专家6平行线判定定理 1:同位角相等,两直线平行如图所示,只要满足 1 2(或者 3 4; 5 7; 6 8) ,就可以说 AB/CD平行线判定定理 2:内错角相等,两直线平行如图所示,只要满足 6 2(或者 5 4) ,就可以说 AB/CD平行线判定定理 3:同旁内角互补,两直线平行如图所示,只要满足 5+ 2180 (或者 6+ 4180 ) ,就可以说 AB/CD平行线判定定理 4:两条直线同时垂直于第三条直线,两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况,由上图中 1 290 就可以得到。例题:1.已知:AB/CD,BD 平分 ,DB 平分 ,求证:DA/BCABCAD12342.已知:AF、BD、CE 都为直线,B 在直线 AC 上,E 在直线 DF 上,且 , ,求证: 。12CDAFDF3124ABC(3)有三个交点当三条直线两两相交时,共形成三个交点,12 个角,这是三条直线相交的一般情况。如下图所示: 益学国际成长教育专家7你能指出其中的同位角,内错角和同旁内角吗?三个交点可以看成一个三角形的三个顶点,三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。(4)没有交点:这种情况下,三条直线都平行,如下图所示:即 a/b/c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。例题:如图,CDAB,DCB=70,CBF=20,EFB=130,问直线 EF 与 CD 有怎样的位置关系,为什么? 【课堂练习巩固】一选择题:1. 如图,下面结论正确的是( )A. 是同位角 B. 是内错角12和 23和C. 是同旁内角 D. 是内错角4和 14和2. 如图,图中同旁内角的对数是( )A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对 3. 如图,能与 构成同位角的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4. 如图,图中的内错角的对数是( ) 益学国际成长教育专家8A. 2 对 B. 3 对 C. 4 对 D. 5 对5如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的 4 倍少 ,那么这两个角是( )30oA. B. 都是42138o、 1oC. 或 D. 以上都不对、 0o、二填空 1 已知:如图, 。求证: 。AOB, 12COD证明: ( )Q( )9013( )290( )COD2 已知:如图,COD 是直线, 。求证:A、O、B 三点在同一条直线上。13证明: COD 是一条直线( )Q_( )12( )3_ _( )三解答题1如图,已知:AB/CD,求证
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